Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

n, i > j plat´ı Aij = 0

Slovy:

” A

m´

a pod diagon´

alou sam´

e nuly.“

• doln´ı troj´

uheln´

ıkovou matic´

ı, pokud pro kaˇ

zd´

e i, j ∈ ˆ

n, i < j plat´ı Aij = 0

Slovy:

” A

m´

a nad diagon´

alou sam´

e nuly.“

Pozn´

amka 14. Rozmyslete si, ˇ

ze pro ˇ

ctvercovou matici A

• plat´ı: Je-li A v horn´ım stupˇnovit´em tvaru, pak je i v horn´ım troj´uheln´ıkov´em tvaru.

• neplat´ı: Je-li A v horn´ım troj´uheln´ıkov´em tvaru, pak je i v horn´ım stupˇnovit´em tvaru.

Protipˇ

r´ıklad: A =

 1 0 0

0 0 1

0 0 1

je v horn´ım troj´

uheln´ıkov´

em, ale nen´ı v horn´ım stupˇ

novit´

em tvaru.

Vˇ

eta 16 (Determinant troj´

uheln´ıkov´

ych matic). Necht’ A je doln´ı nebo horn´ı troj´

uheln´ıkov´

a matice

ˇ

r´

adu n s prvky z tˇ

elesa T . Pak det A = A11A22 . . . Ann.

Slovy:

”

Determinant troj´

uheln´ıkov´

ych matic je souˇ

cinem diagon´

aln´ıch prvk˚

u.“

D˚

ukaz. Dok´

aˇ

zeme tvrzen´ı pro horn´ı troj´

uheln´ıkov´

e matice, pro doln´ı troj´

uheln´ıkov´

e je d˚

ukaz ana-

logick´

y. Urˇ

c´ıme, jak mus´ı vypadat permutace π na ˆ

n, aby j´ı odpov´ıdaj´ıc´ı ˇ

clen determinantu

sgn π A1π(1)A2π(2) . . . Anπ(n) nebyl nutnˇe nulov´y.

1. Zcela jistˇ

e π(n) = n, kdyby totiˇ

z π(n) = j < n, pak by se ve ˇ

clenu determinantu vyskytoval

prvek Anj nach´azej´ıc´ı s v matici pod diagon´alou, a tedy Anj = 0.

2. D´

ale π(n − 1) = n − 1. π(n − 1) nem˚

uˇ

ze b´

yt rovno n, protoˇ

ze by π nebyla permutace, a kdyˇ

z

π(n − 1) = j < n − 1, pak A(n−1)j = 0.

3. Analogick´

ymi ´

uvahami dostaneme, ˇ

ze π = .

Tedy vˇ

sem permutac´ım, kter´

e nejsou identick´

e, odpov´ıd´

a v determinantu nulov´

y ˇ

clen. Odtud jiˇ

z