Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
pˇ
redposledn´ım ˇ
r´
adku (odeˇ
cten´ım odpov´ıdaj´ıc´ıho n´
asobku posledn´ıho ˇ
r´
adku), pot´
e ve tˇ
ret´ım ˇ
r´
adku
od konce odeˇ
cten´ım vhodn´
e line´
arn´ı kombinace posledn´ıho a pˇ
redposledn´ıho ˇ
r´
adku atd.
K d˚
ukazu druh´
e ˇ
c´
asti vˇ
ety si staˇ
c´ı uvˇ
edomit, ˇ
ze I vznikla E ˇ
R ´
U z A a ˇze X vznikla stejn´ymi E ˇ
R ´
U
proveden´
ymi ve stejn´
em poˇ
rad´ı z B. Z Vˇety 12 plyne, ˇze existuje T tak, ˇze I = TA a X = TB. Z
prvn´ı rovnosti dost´
av´
ame T = A
−1 a z druh´e rovnosti pak X = A−1B, coˇz jsme chtˇeli dok´azat.
Pozn´
amka 6. Slov´ıˇ
cko ´
upln´
a naznaˇ
cuje, ˇ
ze narozd´ıl od Gaussovy eliminace, kdy jsme matici
pomoc´ı E ˇ
R ´
U pˇ
revedli do horn´ıho stupˇ
novit´
eho tvaru a zastavili se, v ´
upln´
e Gaussovˇ
e eliminaci
z horn´ıho stupˇ
novit´
eho tvaru pokraˇ
cujeme a E ˇ
R ´
U vyr´
ab´ıme nuly nad diagon´
alou, dokud neskonˇ
c´ıme
u jednotkov´
e matice.
11
´
Uplnou Gaussovu eliminaci budeme pouˇ
z´ıvat k ˇ
reˇ
sen´ı n´
asleduj´ıc´ıch ´
uloh (A je regul´arn´ı a
ostatn´ı matice jsou spr´
avn´
eho rozmˇ
eru):
1. hled´
an´ı A
−1
B,
2. hled´
an´ı A
−1, tj. B klademe rovno I v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe,
3. hled´
an´ı A
−1
~b, tj. B klademe rovno ~b,
4. hled´
an´ı CA
−1, pak vyuˇzijeme metody:
A
T | CT ∼ I | (AT )
−1
C
T = I | (A
−1)T CT
a transponov´
an´ım v´
ysledn´
e matice (A
−1)T CT pak z´ısk´ame hledanou matici CA−1.
Pˇ
r´
ıklad 7. Jsou d´
any matice
A =
0
1
−1
0
0
1
1
−1
0
, B =
2
0
0
0
1
−1
, C =
2
0
−1
1
1
1
.
Spoˇ
ctˇ
ete A
−1
B, CA
−1 bez toho, abyste spoˇcetli A−1. Pot´e A−1 vypoˇc´ıtejte a pˇredchoz´ı v´ysledky
pak pomoc´ı nalezen´
e A
−1 zkontrolujte.
ˇ
Reˇ
sen´
ı:
(a)
(A | B) =
0
1
−1
2
0
0
0
1
0
0
1
−1