Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
asleduj´ıc´ıch soustav.
a)
u
+
v
−
2x
+
y
−
z
=
6
2u
+
2v
−
4x
−
y
+
z
=
9
u
+
v
−
2x
=
5
u
−
v
+
x
+
y
−
2z
=
0
b)
2u
+
v
+
2x
+
y
+
3z
=
0
5u
+
3v
−
4x
+
3y
−
6z
=
0
u
+
v
−
8x
+
y
−
12z
=
0
6
c)
3x
−
y
+
7
=
0
6x
−
2y
+
14
=
0
x
+
y
+
1
=
0
x
+
5y
−
3
=
0
5x
+
y
+
9
=
0
1.4.4
Hodnost souˇ
cinu matic
Na z´
akladˇ
e znalosti hodnosti sloˇ
zen´
eho line´
arn´ıho zobrazen´ı budeme umˇ
et dok´
azat, ˇ
ze pro hodnost
souˇ
cinu matic plat´ı n´
asleduj´ıc´ı vˇ
eta.
Vˇ
eta 6 (Hodnost souˇ
cinu matic). Necht’ A je matice typu m × n, B je matice typu n × p s prvky
z tˇ
elesa T . Pak plat´ı
1. h(AB) ≤ min{h(A), h(B)},
2. je-li m = n a A regul´arn´ı, pak h(AB) = h(B),
3. je-li n = p a B regul´arn´ı, pak h(AB) = h(A).
D˚
ukaz. Pro kaˇ
zd´
e ~
x ∈ T n definujme A~
x = A · ~x (tedy A je zobrazen´ı urˇcen´e matic´ı A pˇri stan-
dardn´ıch b´
az´ıch En a Em), pak h(A) = h(A). Pro kaˇzd´e ~x ∈ T
p definujme B~x = B · ~x, pak
h(B) = h(B). Potom AB~x = (AB) · ~x, a tedy h(AB) = h(AB).
Ze ZS v´ıme:
1. h(AB) ≤ min{h(A), h(B)},
2. h(AB) = h(B), je-li A izomorfismus (⇔ n = m a A je regul´
arn´ı oper´
ator na T n, coˇ
z je podle
Vˇ
ety 4 ekvivalentn´ı s regularitou A),
3. h(AB) = h(A), je-li B izomorfismus (⇔ n = p a B je regul´
arn´ı oper´
ator na T n, coˇ
z je podle
Vˇ
ety 4 ekvivalentn´ı s regularitou B).
Pˇ
r´ımo z definic zobrazen´ı A, B, AB z´ısk´
ame tvrzen´ı vˇ
ety. Vlastnˇ
e v pˇ
redchoz´ıch vztaz´ıch vˇ
sude
nahrad´ıme zobrazen´ı A, B maticemi A, B.
Pozn´
amka 5. Nerovnost v 1. bodˇ
e Vˇ
ety 6 m˚
uˇ
ze b´
yt ostr´
a. Necht’ A = (
0 0
0 1 ) , B = (
1 0
0 0 ), pak
AB = (
0 0
0 0 ) . Tedy 0 = h(AB) < min{h(A), h(B)} = 1.