Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2. A =
0
1
1
0
(A je zrcadlen´ı podle osy x = y),
3. A =
cos α
sin α
−sinα
cos α
(A je rotace o ´
uhel α po smˇ
eru hodinov´
ych ruˇ
ciˇ
cek),
4. A =
−1
0
0
−1
(A je stˇ
redov´
a soumˇ
ernost),
5. A =
α
0
0
1
(A je prodlouˇ
zen´ı (zkr´
acen´ı) ve smˇ
eru x, kde pro α > 1 jde o prodlouˇ
zen´ı a
pro 0 < α < 1 o zkr´
acen´ı).
3
Obr´
azek 1: ˇ
Cervenˇ
e vyznaˇ
ceny vektory a modˇ
re jejich obrazy.
1.4
Hodnost matice
V´ıme ze ZS, co je hodnost line´
arn´ıho zobrazen´ı. Nyn´ı si zavedeme tento pojem i pro matice.
Definice 2. Necht’ A je matice typu m×n s prvky z tˇelesa T . Hodnost matice h(A) je definov´ana
jako
h(A) = dim [A·1, A·2, . . . , A·n]λ,
kde A·j znaˇc´ı j-t´y sloupec matice A.
Slovy:
”
h(A) je poˇcet line´arnˇe nez´avisl´ych sloupc˚
u matice A.“
Vyˇ
setˇ
rov´
an´ı hodnosti matice je tedy podobn´
e vyˇ
setˇ
rov´
an´ı LZ a LN souboru vektor˚
u. Matici
uprav´ıme do horn´ıho stupˇ
novit´
eho tvaru (z definice je jasn´
e, ˇ
ze ekvivalentn´ı ˇ
r´
adkov´
e ´
upravy hod-
nost matice nemˇ
en´ı). Pak poˇ
cet hlavn´ıch sloupc˚
u je roven hodnosti matice.
Pˇ
r´
ıklad 3. Spoˇ
ctˇ
ete hodnost matice
1
1
−2
1
−1
2
2
−4
−1
1
1
1
−2
0
0
1
−1
1
1
−2
.
ˇ
Reˇ
sen´
ı:
1
1
−2
1
−1
2
2
−4
−1
1
1
1
−2
0
0
1
−1
1
1
−2
∼
1
1
−2
1
−1
0
0
0
−3
3
0
0
0
−1
1
0
−2
3
0
−1
∼
1
1
−2
1
−1
0
−2
3
0
−1
0
0
0
−1
1
0
0
0
0
0
.
V horn´ım stupˇ
novit´
em tvaru jsou prvn´ı, druh´
y a ˇ
ctvrt´
y sloupec hlavn´ı, tedy h(A) = 3.
1.4.1
Vztah hodnosti matice a hodnosti line´
arn´
ıho zobrazen´
ı
Ukaˇ
zme, jak ´
uzce spolu hodnost matice a hodnost line´
arn´ıho zobrazen´ı souvis´ı.
4
Vˇ
eta 3 (Hodnost zobrazen´ı a hodnost matice). Necht’ Pn a Qm jsou vektorov´e prostory nad
stejn´
ym tˇ
elesem. Necht’ A ∈ L(Pn, Qm), X je b´
aze Pn a Y je b´