Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1.4.5
Hodnost transponovan´
e matice
Velmi zaj´ımav´
ym netrivi´
aln´ım v´
ysledkem je, ˇ
ze v kaˇ
zd´
e matici je poˇ
cet LN sloupc˚
u stejn´
y jako
poˇ
cet LN ˇ
r´
adk˚
u. K precizn´ı formulaci tohoto tvrzen´ı je tˇ
reba nejprve zav´
est pojem transpono-
van´
a matice a k d˚
ukazu tohoto tvrzen´ı budeme potˇ
rebovat tak´
e pojmy komplexnˇ
e sdruˇ
zen´
a a
hermitovsky sdruˇ
zen´
a matice.
Definice 4. Necht’ A je matice typu m × n s prvky z tˇelesa T ,
1. pak matice transponovan´
a k matici A je typu n×m, znaˇc´ı se A
T a je definovan´a AT
ij := Aji,
napˇ
r. A =
2
1
0
1
−1
1
, A
T =
2
1
1
−1
0
1
,
2. pak matice komplexnˇ
e sdruˇ
zen´
a k matici A je typu m × n, znaˇc´ı se A a je definovan´a
Aij := Aij ,
napˇ
r. A =
2
1
0
1
−1
1
, A = A
B =
2i
1 + i
0
1
−i
1
, B =
−2i
1 − i
0
1
i
1
,
7
3. pak matice hermitovsky sdruˇ
zen´
a k matici A je typu n × m, znaˇc´ı se A
H a je definovan´a
A
H = AT , tj. AH
ij := Aji.
napˇ
r. A =
2
1
0
1
−1
1
, A
H = AT =
2
1
1
−1
0
1
,
B =
2i
1 + i
0
1
−i
1
, B
H =
−2i
1
1 − i
i
0
1
.
Vˇ
eta 7 (Vlastnosti transponovan´
ych, komplexnˇ
e sdruˇ
zen´
ych a hermitovsky sdruˇ
zen´
ych matic).
Necht’ A je typu m × n, B je typu n × p, pak
1. AT = A
T
, (A
T )T = A, A = A, (AH)H = A,
2. (AB)
T = BT AT ,
3. AB = A B,
4. (AB)
H = BHAH.
D˚
ukaz. ponech´
an ˇ
cten´
aˇ
ri.
Pˇ
r´
ıklad 5. Ovˇ
eˇ
rte si pˇ
redchoz´ı vˇ
etu a vlastnosti na matic´ıch A =
2
1 + i
0
1
−1
1
, B =
3
1
−i
.
Vˇ
eta 8. Necht’ A je typu m × n s prvky z T . Pak h(A) = h(A
T ).
Slovy:
”
Kaˇ
zd´
a matice obsahuje stejn´
y poˇ
cet LN sloupc˚
u jako LN ˇ
r´
adk˚
u.“
Lemma 1. Necht’ A je typu m × n s prvky z T . Pak h(A