Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

H

A) = h(A).

D˚

ukaz. Oznaˇ

cme

S0 = {~x ∈ T

n 

A

H

A~

x = ~0} a ˜

S0 = {~x ∈ T

n 

A~

x = ~0}.

Uk´

aˇ

zeme, ˇ

ze S0 = ˜

S0.

• ˜

S0 ⊂ S0: Tato inkluze plat´ı, protoˇze splˇ

nuje-li ~

x, ˇ

ze A~x = ~0, pak A

H

A~

x = A

H

~0 = ~0.

• ˜

S0 ⊃ S0: Necht’ ~x ∈ S0, pak A

H

A~

x = ~0. Vyn´

asob´ıme obˇ

e strany rovnosti zepˇ

redu opruho-

van´

ym a transponovan´

ym vektorem ~

x (jde tedy o ˇ

r´

adek). Potom ~

xH A

H

A~

x = 0. Podle Vˇ

ety 7

m´

ame ~

xH A

H = (A~x)H, odkud plyne (A~x)HA~x = 0. Jelikoˇz A~x ∈ T m, oznaˇcme jeho sloˇzky

A~

x =

z1

z2

..

.

zm

. Pak (A~x)

H = (z1 z2 . . . zm). Dost´av´ame

(A~x)

H

A~

x = (z1 z2 . . . zm)

z1

z2

..

.

zm

= |z1|

2 + |z

2|

2 + · · · + |z

m|

2 = 0,

odkud plyne, ˇ

ze z1 = z2 = · · · = zm = 0, a tedy A~x = ~0, coˇz znamen´a, ˇze ~x ∈ ˜

S0.

Z Frobeniovy vˇ

ety v´ıme, ˇ

ze dim S0 = n − h(A

H

A) a dim

˜

S0 = n − h(A). Jelikoˇz S0 = ˜

S0, m´

ame

n − h(A

H

A) = n − h(A).

8

Lemma 2. Pro libovolnou matici B s prvky z T plat´ı h(B) = h(B).

D˚

ukaz. ponech´

an ˇ

cten´

aˇ

ri.

D˚

ukaz Vˇ

ety 8. Na jednu stranu m´

ame h(A) = h(A

H

A) ≤ h(A

H ) = h(AT ) = h(AT ), kde bylo v

prvn´ı rovnosti vyuˇ

zito Pomocn´

e lema 1, v nerovnosti Vˇ

eta 6 o hodnosti souˇ

cinu matic, v dalˇ

s´ı

rovnosti definice hermitovsky sdruˇ

zen´

e matice a v posledn´ı rovnosti Pomocn´

e lema 2. Na druhou

stranu plat´ı h(A

T ) = h(AH) = h(AAH) ≤ h(A), kde bylo v prvn´ırovnosti vyuˇzito Pomocn´e lema 2,

ve druh´

e rovnosti Pomocn´

e lema 1 (m´ısto A jsme v nˇem uvaˇzovali A

H ) a v nerovnosti Vˇeta 6

o hodnosti souˇ