Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
0
1
−1
∼
1
−1
0
1
−1
0
1
−1
2
0
0
0
1
0
0
∼
1
−1
0
1
−1
0
1
0
2
0
0
0
1
0
0
∼
∼
1
0
0
3
−1
0
1
0
2
0
0
0
1
0
0
, tedy A
−1
B =
3
−1
2
0
0
0
.
(b)
A
T | CT =
0
0
1
2
1
1
0
−1
0
1
−1
1
0
−1
1
∼
1
0
−1
0
1
0
1
−1
−1
2
0
0
1
2
1
∼
1
0
−1
0
1
0
1
0
1
3
0
0
1
2
1
∼
∼
1
0
0
2
2
0
1
0
1
3
0
0
1
2
1
, tedy CA
−1 =
2
1
2
2
3
1
.
(c)
(A | I) =
0
1
−1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
−1
0
0
0
1
∼
1
−1
0
0
0
1
0
1
−1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
∼
1
−1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
∼
∼
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
, tedy A
−1 =
1
1
1
1
1
0
0
1
0
.
Pˇ
r´
ıklad 8 (Sloupcov´
a analogie ´
upln´
e Gaussovy eliminace). Zformulujte a dokaˇ
zte analogickou
vˇ
etu jako je Vˇ
eta 12 pro ekvivalentn´ı sloupcov´
e ´
upravy. Jej´ı pomoc´ı vymyslete sloupcovou analogii
´
upln´
e Gaussovy eliminace.
12
3
Permutace a determinanty
Abychom mohli zav´
est pojem determinant matice, mus´ıme nejprve vysvˇ
etlit nˇ
ekolik pojm˚
u z teorie
permutac´ı.
3.1
Permutace
Definice 6. Necht’ n ∈ N. Kaˇzdou bijekci (zobrazen´ı prost´e a
”
na“) π : ˆ
n → ˆ
n naz´
yv´
ame permu-
tac´
ı na ˆ
n. Mnoˇ
zinu vˇ
sech permutac´ı na ˆ
n znaˇ
c´ıme Sn.
Pozn´
amka 7. Rozmyslete si, ˇ
ze mnoˇ
zina Sn m´
a n! prvk˚
u.
Pˇ
r´
ıklad 9. Permutace obvykle zapisujeme tabulkou s dvˇ
ema ˇ
r´
adky π1 =
1
2
3
4
4
3
1
2
, π2 =
3
2
4
1
4
3
1
2
. Pˇ
r´ıpadnˇ
e jedin´
ym ˇ
r´
adkem π1 = (4, 3, 1, 2). Najdˇete
π1 ◦ π2, π
2
2 = π2 ◦ π2, π2 ◦ π1,
kde ◦ znaˇ
c´ı skl´
ad´
an´ı.
Pozn´
amka 8. Identickou permutaci znaˇ
c´ıme . Je zˇ
rejm´
e, ˇ
ze ke kaˇ
zd´
e permutaci existuje permu-
tace inverzn´ı a ˇ
ze se z´ısk´
a prohozen´ım ˇ
r´
adk˚
u v dvouˇ
r´
adkov´
em z´
apisu. Napˇ
r´ıklad: π
−1
2
=
4
3
1
2
3
2
4
1
.
Definice 7. Necht’ π ∈ Sn, pak inverz´ı v π nazveme kaˇzdou uspoˇr´
adanou dvojici (i, j) splˇ
nuj´ıc´ı:
• i, j ∈ ˆ
n,
• i < j,
• π(i) > π(j).
Poˇ
cet inverz´ı v π znaˇ
c´ıme Iπ. Znam´
enkem permutace π nazveme ˇ