Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
• Pokud AB = I, pak A i B jsou regul´arn´ı a B = A
−1.
• Pokud BA = I, pak A i B jsou regul´arn´ı a B = A
−1.
• Plat´ı I
−1 = I.
• Necht’ A je regul´arn´ı matice. Pak (αA)
−1 = 1
α A
−1 pro α 6= 0 a (A−1)−1 = A.
• Jiˇz v´ıme (D˚
usledek 4), ˇ
ze soustava A~x = ~b se ˇctvercovou matic´ı A ˇr´adu n m´a pr´avˇe jedno
ˇ
reˇ
sen´ı, pr´
avˇ
e kdyˇ
z A je regul´arn´ı. ˇ
Reˇ
sen´ım je pak vektor ~
x = A
−1
~b.
D˚
ukaz. ponech´
an ˇ
cten´
aˇ
ri.
Vˇ
eta 11 (Inverzn´ı matice k souˇ
cinu matic). Necht’ A a B jsou regul´arn´ı matice ˇr´adu n. Pak tak´e
matice AB je regul´arn´ı a (AB)
−1 = B−1A−1.
D˚
ukaz. Jelikoˇ
z AB(B
−1
A
−1) = A(BB−1)A−1 = AIA−1 = AA−1 = I, dost´av´ame podle 1. bodu
Vˇ
ety 10, ˇ
ze AB je regul´arn´ı a (A · B)
−1 = B−1A−1.
10
2.1
Praktick´
y v´
ypoˇ
cet A
−1
B – ´
upln´
a Gaussova eliminace
Abychom pochopili, proˇ
c funguje ´
upln´
a Gaussova eliminace, mus´ıme si nejprve uvˇ
edomit, ˇ
ze
ˇ
r´
adkov´
e ´
upravy v matici odpov´ıdaj´ı n´
asoben´ı vhodnou matic´ı zleva.
Lemma 3. Necht’ C je matice typu m × n. Provedeme-li ekvivalentn´ı ˇr´adkovou ´
upravu, je v´
ysledn´
a
matice rovna matici TC, kde T je ˇctvercov´a matice ˇr´adu m, kter´a vznikla z I stejnou ˇr´adkovou
´
upravou.
D˚
ukaz. ˇ
Cten´
aˇ
r snadno ovˇ
eˇ
r´ı, ˇ
ze je tvrzen´ı pravdiv´
e pro vˇ
sechny ekvivalentn´ı ˇ
r´
adkov´
e ´
upravy:
1. z´
amˇ
ena ˇ
r´
adk˚
u,
2. vyn´
asoben´ı ˇ
r´
adku nenulov´
ym ˇ
c´ıslem,
3. pˇ
riˇ
cten´ı line´
arn´ı kombinace ostatn´ıch ˇ
r´
adk˚
u k vybran´
emu ˇ
r´
adku.
Vˇ
eta 12 (Ekvivalentn´ı ˇ
r´
adkov´
e ´
upravy a n´
asoben´ı matic´ı). Necht’ C je matice typu m × n.
Provedeme-li koneˇ
cn´
y poˇ