Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

2. Necht’ A : T n → T m je line´

arn´ı zobrazen´ı urˇ

cen´

e matic´ı A pˇri b´az´ıch En a Em, tj. pro kaˇzd´e

~

x ∈ T n plat´ı A~

x = A · ~x. Pak pro S0 plat´ı:

S0 = {~x ∈ T

n|A · ~x = ~0} = {~x ∈ T n|A~x = ~0} = kerA.

Ze ZS v´ıme, ˇ

ze j´

adro line´

arn´ıho zobrazen´ı tvoˇ

r´ı podprostor, tj. S0 ⊂⊂ T

n, a z 2. vˇety o

dimenzi v´ıme, ˇ

ze dim S0 = d(A) = n − h(A) = n − h(A), kde posledn´ı rovnost plyne

z Pozn´

amky 1.

3. Uvaˇ

zujme opˇ

et A : T n → T m line´

arn´ı zobrazen´ı urˇ

cen´

e matic´ı A pˇri b´az´ıch En a Em. Jelikoˇz

z pˇ

redpokladu h(A) = h(A|~b) plyne, ˇze A · ~x = ~b m´a ˇreˇsen´ı, plat´ı tak´e, ˇze A~x = ~b m´a ˇreˇsen´ı.

Ze ZS z Vˇ

ety o ˇ

reˇ

sen´ı rovnice A~

x = ~b v´ıme, ˇ

ze mnoˇ

zina vˇ

sech ˇ

reˇ

sen´ı A~

x = ~b m´

a tvar ~a+kerA,

kde ~b = A~a. A tedy S = ~a + S0, kde ~b = A · ~a.

Pozn´

amka 4. Podle definice hodnosti matice ˇ

r´ık´

a vlastnˇ

e 2. tvrzen´ı Frobeniovy vˇ

ety, ˇ

ze poˇ

cet

LN ˇ

reˇ

sen´ı homogenn´ı soustavy je roven poˇ

ctu vedlejˇ

s´ıch sloupc˚

u v matici soustavy v horn´ım

stupˇ

novit´

em tvaru.

Z Frobeniovy vˇ

ety lze odvodit ekvivalentn´ı definice regul´

arn´ı matice.

D˚

usledek 3. Homogenn´ı soustava se ˇ

ctvercovou matic´ı A ˇr´adu n m´a pouze trivi´aln´ı ˇreˇsen´ı, tj.

pouze nulov´

y vektor je ˇ

reˇ

sen´ım, pr´

avˇ

e kdyˇ

z A je regul´arn´ı.

D˚

usledek 4. Necht’ ~b ∈ T n. Soustava A~x = ~b se ˇctvercovou matic´ı A ˇr´adu n s prvky z T m´a

pr´

avˇ

e jedno ˇ

reˇ

sen´ı, pr´

avˇ

e kdyˇ

z A je regul´arn´ı.

Pˇ

r´

ıklad 4. Najdˇ

ete vˇ

sechna ˇ

reˇ

sen´ı n´