Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

(B~

x)Y =

X BY(~x)X = A(~x)X =X AY(~x)X = (A~x)Y.

Pak ale pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ Pn tak´e plat´ı A~x = B~x, a tedy A = B.

D˚

usledek 1. V pˇ

r´ıkladech b´

yv´

a ˇ

casto zad´

ano line´

arn´ı zobrazen´ı pomoc´ı sv´

e matice v b´

az´ıch. Pr´

avˇ

e

jsme se dozvˇ

edˇ

eli, ˇ

ze takov´

e zad´

an´ı skuteˇ

cnˇ

e urˇ

cuje dan´

e line´

arn´ı zobrazen´ı jednoznaˇ

cnˇ

e.

Shrnut´ı

Jsou-li X b´

aze Pn a Y b´

aze Qm. Pak

• kaˇ

zd´

emu line´

arn´ımu zobrazen´ı A : Pn → Qm je pˇriˇrazena matice

XAY typu m × n,

• kaˇ

zd´

e matici A typu m × n je pˇriˇrazeno pr´avˇe jedno line´arn´ı zobrazen´ı urˇcen´e matic´ı A pˇri

b´

az´ıch X a Y.

1.3

V prostorech T n matice a line´

arn´ı zobrazen´ı jedno jest

Vˇ

eta 2 (Matice a line´

arn´ı zobrazen´ı v T n). Necht’ T je tˇ

eleso.

1. Pro kaˇ

zd´

e line´

arn´ı zobrazen´ı A ∈ L(T n, T m) existuje matice A typu m × n s prvky z T , kter´a

splˇ

nuje A~

x = A · ~x pro kaˇzd´y vektor ~x ∈ T

n.

2. Naopak, je-li A matice typu m × n s prvky z T , pak urˇcuje vztahem A~x := A · ~x line´arn´ı

zobrazen´ı A : T n → T m.

D˚

ukaz.

1. Snadno sami ovˇ

eˇ

r´ıte, ˇ

ze hledanou matic´ı A je matice

En AEm.

2. Jeˇ

stˇ

e sn´

aze ovˇ

eˇ

r´ıte, ˇ

ze takto definovan´

e zobrazen´ı A je skuteˇ

cnˇ

e z T n do T m a je line´

arn´ı.

Pˇ

r´

ıklad 2. Jiˇ

z v ZS jsme uv´

adˇ

eli nejzn´

amˇ

ejˇ

s´ı pˇ

r´ıklady line´

arn´ıch zobrazen´ı A : R

2 → R2. Sami

si rozmyslete, ˇ

ze oper´

ator A ∈ L(R

2) je urˇcen´y matic´ı A pˇri standardn´ı b´azi E2 prostoru R2, tj.

A~

x = A · ~x pro kaˇzd´e ~x ∈ R

2.

1. A =

1

0

0

−1

(A je zrcadlen´ı podle osy x),