Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

Pˇ

r´

ıklad 1. Necht’ A ∈ L(R

2, R3) je definovan´e n´asledovnˇe

A (

α1

α2 ) :=

α1+α2

α2

α1

.

Najdˇ

ete XAY , kde X = (~

e2, ~e1) a Y = (~e1, ~e1 + ~e2, ~e2 + ~e3). (Uvˇedomte si, ˇze jednou je ~e1 vektorem

z R

2 a podruh´e z R3!)
Definice ˇ

r´ık´

a, ˇ

ze pro j-t´

y sloupec plat´ı [XAY ]·j = (A~xj)Y . Protoˇze A~e2 = A ( 01 ) =

 1

1

0

a

 1

1

0

= ~

e1 + ~e2, tj.

 1

1

0

Y

=

 0

1

0

, m´

ame urˇ

cen´

y prvn´ı sloupec matice XAY . Podobnˇ

e spoˇ

cteme

druh´

y a dostaneme v´

ysledek.

Z´

avˇ

er:

X AY =

0

2

1

−1

0

1

.

1.2

Matici je pˇ

riˇ

razeno line´

arn´ı zobrazen´ı

N´

asleduj´ıc´ı vˇ

eta ˇ

r´ık´

a, ˇ

ze tak´

e kaˇ

zd´

e matici odpov´ıd´

a line´

arn´ı zobrazen´ı a v urˇ

cit´

em smyslu je

jedin´

e.

Vˇ

eta 1 (O zobrazen´ı urˇ

cen´

em matic´ı pˇ

ri b´

az´ıch). Necht’ A je matice typu m × n s prvky z tˇelesa

T , necht’ Pn a Qm jsou vektorov´e prostory nad tˇelesem T (indexy vyjadˇruj´ı dimenzi) a necht’ X je
b´

aze Pn a Y je b´

aze Qm. Pak existuje pr´

avˇ

e jedno line´

arn´ı zobrazen´ı A : Pn → Qm, jehoˇz matice

zobrazen´ı v b´

az´ıch X a Y splˇ

nuje

XAY = A.

Takov´

e zobrazen´ı A naz´

yv´

ame zobrazen´

ı urˇ

cen´

e matic´

ı A pˇ

ri b´

az´

ıch X a Y.

D˚

ukaz. Naznaˇ

c´ıme, co je tˇ

reba dok´

azat.

1. Existenci:

To znamen´

a, ˇ

ze mus´ıme definovat zobrazen´ı, kter´

e splˇ

nuje podm´ınky z vˇ

ety, tj.

(a) A : Pn → Qm,

(b) A je line´

arn´ı,

(c) XAY = A.

2

Ovˇ

eˇ

rte sami, ˇ

ze kdyˇ

z pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ Pn definujeme A~x pomoc´ı jeho souˇradnic v b´

azi Y jako

(A~

x)Y := A · (~x)X ,

z´ısk´

ame zobrazen´ı splˇ

nuj´ıc´ı v´

yˇ

se uveden´

e tˇ

ri poˇ

zadavky.

2. Jednoznaˇ

cnost:

Necht’ B ∈ L(Pn, Qm) splˇ

nuje XBY = A. Pak ze ZS v´ıme, ˇze pro kaˇzd´e ~x ∈ Pn plat´ı