Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

Ctvercov´

a matice A ˇr´adu n se naz´yv´a regul´

arn´

ı, pokud h(A) = n. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe

se A naz´yv´a singul´

arn´

ı.

Uved’me vˇ

etu, kter´

a vysvˇ

etl´ı, jak souvis´ı pojem regul´

arn´ı oper´

ator a regul´

arn´ı matice.

Vˇ

eta 4 (Regul´

arn´ı oper´

ator a regul´

arn´ı matice). Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s prvky z

tˇ

elesa T a necht’ Pn je vektorov´

y prostor nad T s b´

az´ı X . Pak A je regul´arn´ı matice, pr´avˇe kdyˇz

zobrazen´ı A urˇ

cen´

e matic´ı A pˇri b´azi X je regul´arn´ı oper´ator.

D˚

ukaz. D˚

ukaz je hotov´

y, pokud si uvˇ

edom´ıme, ˇ

ze pro A ∈ L(Pn) ze ZS z Vˇety o jednoduˇsˇs´ım

ovˇ

eˇ

ren´ı izomorfnosti zobrazen´ı v´ıme, ˇ

ze A je

”

na“ Pn (tj. h(A) = n) pr´

avˇ

e tehdy, kdyˇ

z A je

izomorfismus, tedy regul´

arn´ı oper´

ator. Pak uˇ

z staˇ

c´ı aplikovat Vˇ

etu 3, kter´

a d´

av´

a rovnost h(A) =

h(XAY ) = h(A).

Pozn´

amka 3. Vˇ

sechny matice z Pˇ

r´ıkladu 2 byly regul´

arn´ı. A tedy i vˇ

sechny oper´

atory z Pˇ

r´ıkladu 2

byly regul´

arn´ı (prost´

e a

”

na“).

1.4.3

Frobeniova vˇ

eta

Uˇ

z ze ZS um´ıme zjistit, zda m´

a soustava line´

arn´ıch algebraick´

ych rovnic (LAR) ˇ

reˇ

sen´ı, zda m´

a v´ıce

ˇ

reˇ

sen´ı, a jedno ˇ

reˇ

sen´ı um´ıme naj´ıt. Frobeniova vˇ

eta zformuluje elegantnˇ

e pomoc´ı pojmu hodnost

matice podm´ınku ˇ

reˇ

sitelnosti soustavy LAR s pravou stranou. D´

ale se dozv´ıme, jak urˇ

cit poˇ

cet

LN ˇ

reˇ

sen´ı homogenn´ı soustavy, a nauˇ

c´ıme se naj´ıt vˇ

sechna ˇ

reˇ

sen´ı soustavy LAR. Frobeniovu vˇ

etu

budeme umˇ

et dok´

azat pomoc´ı znalost´ı ˇ

reˇ

sen´ı rovnice A~

x = ~b, kde A je line´

arn´ı zobrazen´ı.

Obvykle teˇ

cku · pˇ

ri n´

asoben´ı ˇ

c´ısel i vektor˚

u vynech´

av´

ame. Ve Frobeniovˇ