Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

cinu matic. Dostali jsme tedy h(A) ≤ h(A

T ) ≤ h(A), proto h(A) = h(AT ).

9

2

Inverzn´ı matice a ´

upln´

a Gaussova eliminace

Pˇ

ripomeˇ

nme, ˇ

ze I znaˇc´ı jednotkovou matici, tedy ˇctvercovou matici s jedniˇckami na diagon´ale a

nulami vˇ

sude jinde.

Definice 5. Necht’ A je matice s prvky z T . Pokud existuje matice B tak, ˇze AB = BA = I, pak B
nazveme inverzn´

ı matic´ı k A.

Pozorov´

an´

ı 1.

• A mus´ı b´yt nutnˇe ˇctvercov´a (plyne z pravidel pro n´asoben´ı matic).

• Pro singul´

arn´ı matici inverzn´ı neexistuje (plyne z Vˇ

ety 6 o hodnosti souˇ

cinu matic).

Vˇ

eta 9. Necht’ A je regul´arn´ı matice ˇr´adu n. Pak k n´ı existuje pr´avˇe jedna inverzn´ı matice.

D˚

ukaz. Je tˇ

reba dok´

azat existenci a jednoznaˇ

cnost.

• Existence:

Najdeme podobu inverzn´ı matice B k matici A. Uvaˇzujme line´arn´ı oper´ator A urˇcen´y matic´ı A
pˇ

ri standardn´ıch b´

az´ıch. Takov´

y oper´

ator je podle Vˇ

ety 4 regul´

arn´ı, a existuje tedy oper´

ator k

nˇ

emu inverzn´ı A−1. Poloˇ

z´ıme-li B :=

En (A−1), pak snadno ovˇeˇr´ıme, ˇze splˇnuje A·B = B·A = I.

(Staˇ

c´ı si uvˇ

edomit, ˇ

ze A :=

En A.)

• Jednoznaˇcnost:

Necht’ C je tak´e inverzn´ı matice k A, tedy CA = AC = I. Pak

C = CI = C(AB) = (CA)B = IB = B.

Nyn´ı, kdyˇ

z v´ıme, ˇ

ze pro regul´

arn´ı matici A existuje pr´avˇe jedna inverzn´ı matice, m´a smysl ji

nˇ

ejak oznaˇ

cit. Obvykl´

e je znaˇ

cen´ı A

−1.

Z Vˇ

ety 9 a z faktu, ˇ

ze singul´

arn´ı matice nelze invertovat, plyne nov´

a ekvivalentn´ı definice

regul´

arn´ı matice.

D˚

usledek 5. ˇ

Ctvercov´

a matice A je regul´arn´ı, pr´avˇe kdyˇz existuje A

−1.

Vˇ

eta 10 (Vlastnosti inverzn´ıch matic). Necht’ A, B jsou ˇctvercov´e matice stejn´eho ˇr´adu.