Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

c´ıslo sgn π = (−1)Iπ . ˇ

R´ık´

ame,

ˇ

ze π je sud´

a permutace, pokud sgn π = 1, a lich´

a, pokud sgn π = −1.

Pozn´

amka 9. Identick´

a permutace je sud´

a permutace, protoˇ

ze poˇ

cet inverz´ı v n´ı je roven 0.

Pˇ

r´

ıklad 10. Rozmyslete si, ˇ

ze Sn pro n ≥ 2 obsahuje vˇzdy stejn´

y poˇ

cet sud´

ych a lich´

ych permutac´ı.

Pˇ

r´

ıklad 11. Urˇ

cete poˇ

cet inverz´ı v π1 a najdˇete sgn π1.

Pod´ıvejme se na vˇ

sechny uspoˇ

r´

adan´

e dvojice (i, j), kde i, j ∈ ˆ

4 a i < j, a ovˇ

eˇ

rme, zda π(i) >

π(j).

(i, j)

(π(i), π(j))

π(i) > π(j)

(1, 2)

(4, 3)

X

(1, 3)

(4, 1)

X

(1, 4)

(4, 2)

X

(2, 3)

(3, 1)

X

(2, 4)

(3, 2)

X

(3, 4)

(1, 2)

.

Z´

avˇ

er: Poˇ

cet inverz´ı Iπ

1 = 5, proto sgn π1 = (−1)

5 = −1.

Definice 8. Necht’ n ∈ N, n ≥ 2 a i, j ∈ ˆ

n, i 6= j. Transpozic´

ı ˇ

c´ısel i a j, nazveme permutaci

τij splˇ

nuj´ıc´ı

• τij(k) = k pro k 6= i, j,

• τij(i) = j,

13

• τij(j) = i,

tj. zaps´

ano pomoc´ı tabulky

τij =

1

. . .

i − 1

i

i + 1

. . .

j − 1

j

j + 1

. . .

n

1

. . .

i − 1

j

i + 1

. . .

j − 1

i

j + 1

. . .

n

.

Pˇ

r´

ıklad 12. Napiˇ

ste v´ıce zp˚

usoby π1 jako sloˇzen´ı transpozic.

Staˇ

c´ı si uvˇ

edomit, ˇ

ze kdyˇ

z sloˇ

z´ıme permutaci s transpozic´ı, dostaneme

π ◦ τij =

1

. . .

i − 1

i

i + 1

. . .

j − 1

j

j + 1

. . .

n

π(1)

. . .

π(i − 1)

π(j)

π(i + 1)

. . .

π(j − 1)

π(i)

π(j + 1)

. . .

π(n)

.

A ted’ si pˇ

redstav´ıme, jak z´ısk´

ame π1 z .

•  ◦ τ13 =

1

2

3

4

3

2

1

4

,

•  ◦ τ13 ◦ τ24 =

1

2

3

4

3

4

1

2

,

•  ◦ τ13 ◦ τ24 ◦ τ12 =

1

2

3

4

4

3

1

2

.

Dost´

av´

ame tedy π1 = τ13 ◦ τ24 ◦ τ12.