Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

redchoz´ıho d˚

usledku sgn π ·

sgn π−1 = 1, a tedy π a π−1 maj´ı stejn´

e znam´

enko.

14

3.2

Determinanty

V cel´

e kapitole uvaˇ

zujeme v´

yhradnˇ

e ˇ

ctvercov´

e matice.

Definice 9. Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s prvky z tˇelesa T . Jej´ım determinantem
nazveme ˇ

c´ıslo

det A =

X

π∈Sn

sgn π A1π(1)A2π(2) . . . Anπ(n).

Sˇ

c´ıtance v sumˇ

e naz´

yv´

ame ˇ

cleny determinantu.

Pozn´

amka 12. Poˇ

cet sˇ

c´ıtanc˚

u je n! (v´ıme, ˇ

ze pr´

avˇ

e tolik je permutac´ı na ˆ

n, tedy prvk˚

u mnoˇ

ziny

Sn). V kaˇzd´em ˇclenu se objevuje z kaˇzd´eho ˇr´

adku a kaˇ

zd´

eho sloupce matice pr´

avˇ

e jeden prvek.

Pˇ

r´

ıklad 13. Odvod’me podle definice, jak vypadaj´ı determinanty matic ˇ

r´

adu 1, 2, 3.

• Necht’ A = A11

. Na ˆ1 m´ame jedinˇe identickou permutaci (1) se znam´enkem 1, proto

det A = A11.

• Necht’ A =

A11

A12

A21

A22

. Na ˆ

2 m´

ame dvˇ

e permutace  = (12), resp. τ12 = (21), se znam´enky

1, resp. −1, proto det A = A11A22 − A12A21.

• Necht’ A =

A11

A12

A13

A21

A22

A23

A31

A32

A33

. Na ˆ

3 m´

ame ˇ

sest permutac´ı

π1 =  = (123), π2 = (312), π3 = (231), π4 = (132), π5 = (321), π6 = (213),

se znam´

enky sgn π1 = sgn π2 = sgn π3 = 1 a sgn π4 = sgn π5 = sgn π6 = −1, proto

det A = A11A22A33 + A13A21A32 + A12A23A31 − A11A23A32 − A13A22A31 − A12A21A33.

Vzorce pro determinanty matic ˇ

r´

adu 2, 3 lze z´ıskat tak´

e pomoc´ı tzv. Sarrusova pravidla, jak

ilustruje obr´

azek 2 pro matici ˇ

r´

adu 3. Pro v´

ypoˇ

cet determinantu matice ˇ

r´

adu 2 staˇ

c´ı nakreslit

jednu ˇ

sipku smˇ

erem vpravo dol˚

u a druhou smˇ

erem vpravo nahoru a aplikovat stejn´

e pravidlo pro

znam´

enka. Pro matice vyˇ

sˇ