Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
pˇ
redchoz´ıho bodu nulov´
y determinant.
5. Necht’ B vznikne z A z´amˇenou i-t´eho a j-t´eho ˇr´adku, pak
det B =
P
π∈Sn sgn π B1π(1) . . . Biπ(i) . . . Bjπ(j) . . . Bnπ(n)
=
P
π∈Sn sgn π A1π(1) . . . Ajπ(i) . . . Aiπ(j) . . . Anπ(n)
=
P
π∈Sn −sgn (π ◦ τij ) A1(π◦τij )(1) . . . Ai(π◦τij )(i) . . . Aj(π◦τij )(j)An(π◦τij )(n)
=
−
P
σ∈Sn sgn σ A1σ(1) . . . Aiσ(i) . . . Ajσ(j) . . . Anσ(n)
=
− det A.
17
6. Dokaˇ
zme tvrzen´ı pro ˇ
r´
adky, tedy znaˇ
cme ~
p T i-t´
y ˇ
r´
adek A, ~q
T i-t´y ˇr´adek B, kde A a B maj´ı
ostatn´ı ˇ
r´
adky stejn´
e. Jako C oznaˇcme matici, kter´a m´a v i-t´em ˇr´adku (~p + ~q)
T a vˇsechny
ostatn´ı ˇ
r´
adky m´
a stejn´
e jako A. Pak
det C =
P
π∈Sn sgn π C1π(1) . . . Ciπ(i) . . . Cnπ(n)
=
P
π∈Sn sgn πA1π(1) . . . (pπ(i) + qπ(i)) . . . Anπ(n)
=
P
π∈Sn sgn πA1π(1) . . . pπ(i) . . . Anπ(n) +
P
π∈Sn sgn πA1π(1) . . . qπ(i) . . . Anπ(n)
=
det A + det B.
D˚
usledek 8. Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s prvky z tˇelesa T a α ∈ T . Necht’ B = αA, pak
det B = α
n det A.
D˚
ukaz. Vlastnˇ
e B vznikla z A vyn´asoben´ım kaˇzd´eho ˇr´adku ˇc´ıslem α, tvrzen´ı tedy plyne z 1. bodu
Vˇ
ety 17.
Pˇ
r´
ıklad 14. Pomoc´ı ˇ
r´
adkov´
ych ´
uprav spoˇ
c´ıtejte determinant
1
0
−1
0
3
0
1
2
−2
1
1
−1
1
−1
1
3
0
1
0
2
2
0
0
0
−2
.
ˇ
Reˇ
sen´
ı:
1
0
−1
0
3
0
1
2
−2
1
1
−1
1
−1
1
3
0
1
0
2
2
0
0
0
−2
=
1
0
−1
0
3
0
1
2
−2
1
0
−1
2
−1
−2
0
0
4
0
−7
0
0
2
0
−8
=
1
0
−1
0
3
0
1
2
−2
1
0
0
4
−3
−1
0
0
4
0
−7
0
0
2
0
−8
=
= −
1
0
−1
0
3
0
1
2
−2
1
0
0
2
0
−8
0
0
4
0
−7
0
0
4
−3
−1
= −
1
0
−1
0
3
0
1
2
−2
1
0
0
2
0
−8
0
0
0
0
9
0
0
0
−3
15
=
1
0
−1
0
3
0
1
2
−2
1
0
0
2
0
−8
0
0
0
−3
15
0
0
0