Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
eˇ
znostˇ
en.
20
Definice 11. Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n > 1 s prvky z tˇelesa T , oznaˇcme A
(i,j) matici,
kter´
a vznikla z A vyˇskrtnut´ım i-t´eho ˇr´adku a j-t´eho sloupce. Pak ˇc´ıslo
Dij := (−1)
i+j det A(i,j)
se naz´
yv´
a algebraick´
y doplˇ
nek prvku Aij.
Pˇ
r´
ıklad 18. Najdˇ
ete algebraick´
e doplˇ
nky vˇ
sech prvk˚
u matice A =
1
−1
0
0
2
0
0
1
−1
.
ˇ
Reˇ
sen´
ı:
D11 = (−1)
1+1
2
0
1
−1
= −2
D12 = (−1)
1+2
0
0
0
−1
= 0
D13 = (−1)
1+3
0
2
0
1
= 0
D21 = (−1)
2+1
−1
0
1
−1
= −1
D22 = (−1)
2+2
1
0
0
−1
= −1
D23 = (−1)
2+3
1
−1
0
1
= −1
D31 = (−1)
3+1
−1
0
2
0
= 0
D32 = (−1)
3+2
1
0
0
0
= 0
D33 = (−1)
3+3
1
−1
0
2
= 2
.
Vˇ
eta 22 (O rozvoji determinantu podle i-t´
eho ˇ
r´
adku, resp. j-t´
eho sloupce). Necht’ A je ˇctvercov´a
matice ˇ
r´
adu n > 1 s prvky z tˇ
elesa T . Pak plat´ı pro kaˇ
zd´
e i ∈ ˆ
n
det A =
n
X
j=1
Aij Dij ,
rozvoj podle i-t´
eho ˇ
r´
adku,
respektive pro kaˇ
zd´
e j ∈ ˆ
n
det A =
n
X
i=1
Aij Dij ,
rozvoj podle j-t´
eho sloupce.
D˚
ukaz. Bez d˚
ukazu.
Pˇ
r´
ıklad 19. Spoˇ
ctˇ
ete determinant rozvojem podle ˇ
r´
adk˚
u ˇ
ci sloupc˚
u.
5
0
1
−1
0
3
1
1
−1
1
2
1
1
−1
0
−3
1
1
−1
1
5
1
0
−1
0
.
ˇ
Reˇ
sen´
ı: Zaˇ
cneme rozvojem podle prvn´ıho ˇ
r´
adku
5
0
1
−1
0
3
1
1
−1
1
2
1
1
−1
0
−3
1
1
−1
1
5
1
0
−1
0
= 5(−1)
1+1
1
1
−1
1
1
1
−1
0
1
1
−1
1
1
0
−1
0
+1(−1)
1+3
3
1
−1
1
2
1
−1
0
−3
1
−1
1
5
1
−1
0
+(−1)(−1)
1+4
3
1
1
1
2
1
1
0
−3
1
1
1
5
1
0
0
=
= 0 + 0 +
3
1
1
1
2
1
1
0
−3
1
1
1
5
1
0
0
.
21
Prvn´ı dva determinanty jsou nulov´
e, protoˇ
ze pˇ
r´ısluˇ
sn´
e matice maj´ı LZ sloupce. Dopoˇ
cteme deter-
minant rozvojem podle posledn´ıho sloupce.
3
1
1
1
2
1
1
0
−3
1
1
1
5
1
0
0
= 1(−1)
1+4
2
1
1
−3
1
1
5
1
0
+ 1(−1)
3+4
3
1
1
2
1
1
5
1
0
= 5 + 1 = 6.
Vˇ
eta 23 (Inverzn´ı a adjungovan´
a matice). Necht’ A je regul´arn´ı matice ˇr´adu n > 1 s prvky z
tˇ
elesa T . Pak