Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

eny axiomy skal´

arn´ıho souˇ

cinu.

Definice 13. Necht’ d´

an (V, < .|. >). Normou vektoru ~

x ∈ V nazveme ˇ

c´ıslo k ~

x k=

p< ~x|~x >.

Pozn´

amka 20. Definice m´

a dobr´

y smysl, protoˇ

ze d´ıky pozitivn´ı definitnosti odmocˇ

nujeme nez´

aporn´

e

ˇ

c´ıslo.

Vˇ

eta 26 (Vlastnosti normy). Necht’ d´

an (V, < .|. >).

1. Pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ V plat´ı k ~

x k≥ 0 a k ~

x k= 0, pr´

avˇ

e kdyˇ

z ~

x = ~0.

2. Pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ V a kaˇ

zd´

e α ∈ T plat´ı k α~

x k= |α| k ~

x k.

D˚

ukaz.

1. Plyne z pozitivn´ı definitnosti skal´

arn´ıho souˇ

cinu a z faktu, ˇ

ze odmocnina z kladn´

eho ˇ

c´ısla je

kladn´

a a odmocnina z nuly je nulov´

a.

2. k α~

x k=

p< α~x|α~x > =

pαα < ~x|~x > =

q

|α|2k ~

x k

2 = |α| k ~x k, vyuˇzita linearita v 1. a

antilinearita ve 2. argumentu skal´

arn´ıho souˇ

cinu.

Pˇ

r´

ıklad 25. Pod´ıvejme se, jak vypad´

a norma v unit´

arn´ım a eukleidovsk´

em prostoru.

• Necht’ ~

x =

x1

x2

..

.

xn

je vektor z unit´

arn´ıho prostoru C

n, pak

k ~

x k=

p

< ~

x|~

x > =

v
u
u
t

n

X

k=1

xkxk =

v
u
u
t

n

X

k=1

|xk|2,

• Necht’ ~

x =

x1

x2

..

.

xn

je vektor z eukleidovsk´

eho prostoru R

n, pak

k ~

x k=

p

< ~

x|~

x > =

v
u
u
t

n

X

k=1

x2

k .

25

Pozn´

amka 21. Norma v eukleidovsk´

ych prostorech R

1, R2, R3 m´a v´yznam velikosti vektoru. Napˇr.

v R

2 bychom velikost vektoru ~x = ( x1

x2 ) poˇ

c´ıtali podle Pythagorovy vˇ

ety jako

px2

1 + x

2

2, coˇ

z je rovno

k ~

x k, viz obr´

azek 4.

Obr´

azek 4: Norma vektoru v eukleidovsk´

em prostoru R

2 odpov´ıd´a jeho velikosti.

Definice 14. Necht’ d´

an (V, < .|. >) a V nad R. Necht’ ~x, ~y ∈ V, ~x, ~y 6= ~0, pak ´

uhlem mezi ~

x a ~

y

nazveme ˇ

c´ıslo

ϕ = arccos