Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
ete A
−1 pro A =
1
−1
0
0
2
0
0
1
−1
.
ˇ
Reˇ
sen´
ı: Algebraick´
e doplˇ
nky prvk˚
u A uˇz jsme spoˇc´ıtali v Pˇr´ıkladu 18 a m´ame spoˇcteno, ˇze det A =
−2. Odtud
A
−1 = −
1
2
−2
−1
0
0
−1
0
0
−1
2
.
22
Vˇ
eta 24 (Cramerovo pravidlo). Necht’ A je regul´arn´ı matice ˇr´adu n s prvky z tˇelesa T , ~b ∈ T
n.
Pak pro kaˇ
zd´
e j ∈ ˆ
n je j-t´
a sloˇ
zka ˇ
reˇ
sen´ı soustavy A~x = ~b rovna
xj =
det B
(j)
det A
,
kde B
(j) je matice, kter´a vznikne n´ahradou j-t´eho sloupce matice A vektorem ~b.
D˚
ukaz. Z posledn´ıho bodu Vˇ
ety 10 v´ıme, ˇ
ze ˇ
reˇ
sen´ı splˇ
nuje ~
x = A
−1
~b. Vyuˇzijeme vzorec pro
v´
ypoˇ
cet inverzn´ı matice pomoc´ı adjungovan´
e z Vˇ
ety 23 a vypoˇ
c´ıt´
ame xj.
xj =
1
det A
n
X
k=1
A
adj
jk bk =
1
det A
n
X
k=1
bkDkj =
det B
(j)
det A
,
kde v posledn´ı rovnosti jsme vyuˇ
zili rozvoje det B
(j) podle j-t´eho sloupce.
Pozn´
amka 19. V´
yhodou Cramerova pravidla oproti Gaussovˇ
e eliminaci je moˇ
znost vypoˇ
c´ıst
konkr´
etn´ı sloˇ
zku ˇ
reˇ
sen´ı, aniˇ
z bychom poˇ
c´ıtali ostatn´ı sloˇ
zky. Nev´
yhodou je pomalost, n´
aroˇ
cnost
v´
ypoˇ
ctu.
Pˇ
r´
ıklad 21. ˇ
Reˇ
ste pomoc´ı Cramerova pravidla soustavu s matic´ı A =
1
−1
0
0
2
0
0
1
−1
a s
vektorem prav´
e strany ~b =
1
1
1
.
ˇ
Reˇ
sen´
ı: Uˇ
z v´ıme, ˇ
ze det A = −2.
x1 = −
1
2
1
−1
0
1
2
0
1
1
−1
=
3
2
,
x2 = −
1
2
1
1
0
0
1
0
0
1
−1
=
1
2
,
x3 = −
1
2
1
−1
1
0
2
1
0
1
1
= −
1
2
,
ˇ
reˇ
sen´ım soustavy je tedy ~
x =
1
2
3
1
−1
.
Pˇ
r´
ıklad 22. Dokaˇ
zte, ˇ
ze Vandermond˚
uv determinant
1
α1
α2
1
. . .
α
n−1
1
1
α2
α2
2
. . .
α
n−1
2
..
.
..
.
..
.
. .
.
..
.
1
αn
α2
n
. . .
αn−1
n
=
Y
i,j∈ˆ
n, i<j
(αj − αi),
kde α1, α2, . . . , αn ∈ C.
Pˇ
r´
ıklad 23. Pouˇ
zijte Cramerovo pravidlo a Vandermond˚
uv determinant k urˇ
cen´ı vztah˚
u, kter´
e
mus´ı splˇ
novat parametry a, b, c, aby n´