Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

< ~

x|~

y >

k ~

x kk ~

y k

.

Pozn´

amka 22. Funkce arccos nab´

yv´

a hodnot od 0 do π, proto ϕ ∈ h0, πi. D´

ale jelikoˇ

z je arccos

definov´

an na intervalu h−1, 1i, potˇ

rebovali bychom pro korektnost definice ovˇ

eˇ

rit, ˇ

ze −1 ≤

<~

x|~

y>

k~

xkk~

yk ≤

1. Platnost tˇ

echto nerovnost´ı vyplyne ze Schwarzovy-Cauchyovy vˇ

ety.

Pozn´

amka 23. Vyˇ

setˇ

reme, kdy je ´

uhel nulov´

y, ostr´

y, prav´

y, tup´

y a pˇ

r´ım´

y.

• ϕ = 0 ⇔

<~

x|~

y>

k~

xkk~

yk = 1

• ϕ ostr´

y, tj. ϕ ∈ (0,

π

2 ) ⇔ < ~

x|~

y >> 0

• ϕ prav´

y, tj. ϕ =

π

2 ⇔ < ~

x|~

y >= 0

• ϕ tup´

y, tj. ϕ ∈ (

π

2 , π) ⇔ < ~

x|~

y >< 0

• ϕ pˇr´ım´

y, tj. ϕ = π ⇔

<~

x|~

y>

k~

xkk~

yk = −1

Pozn´

amka 24. Definice ´

uhlu odpov´ıd´

a v eukleidovsk´

em prostoru R

2 definici, kterou zn´ame ze

stˇ

redn´ı ˇ

skoly. Mˇ

ejme d´

any vektory ~

x, ~

y, viz obr´

azek 5. Pak z ob´

azku 5 vyˇ

cteme

cos α =

x1

k ~

x k

, sin α =

x2

k ~

x k

, cos β =

y1

k ~

y k

, sin β =

y2

k ~

y k

.

Pˇ

r´ımo z definice kosinu a sinu lze ovˇ

eˇ

rit platnost souˇ

ctov´

eho vzorce

cos(β − α) = cos β cos α + sin β sin α.

Po dosazen´ı vyj´

adˇ

ren´ı pro siny a kosiny dost´

av´

ame

cos ϕ = cos(β − α) =

y1x1 + y2x2

k ~

x kk ~

y k

=

< ~

x|~

y >

k ~

x kk ~

y k

.

Vˇ

eta 27 (Schwarzova-Cauchyova nerovnost). Necht’ ~

x, ~

y ∈ (V, < .|. >). Pak

| < ~

x|~

y > | ≤k ~

x kk ~

y k .

Rovnost nast´

av´

a, pr´

avˇ

e kdyˇ

z je soubor (~

x, ~

y) LZ.

26

Obr´

azek 5: ´

Uhel mezi vektory v eukleidovsk´

em prostoru R

2.

D˚

ukaz. Nejprve ovˇ

eˇ

r´ıme, ˇ

ze plat´ı nerovnost. Pot´

e se pod´ıv´

ame, kdy nast´

av´

a rovnost.