Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
A
−1 =
1
det A
D11
D21
. . .
Dn1
D12
D22
. . .
Dn2
..
.
..
.
. . .
..
.
D1n
D2n
. . .
Dnn
.
Matici sestaven´
e z algebraick´
ych doplˇ
nk˚
u se ˇ
r´ık´
a adjungovan´
a nebo reciprok´
a a znaˇ
c´ı se A
adj .
D˚
ukaz. Oznaˇ
cme X =
1
det A A
adj . Ovˇeˇr´ıme-li, ˇze XA = I, bude dok´az´ano, ˇze A−1 = X. Necht’
i, j ∈ ˆ
n. Pak
[XA]ij =
n
X
k=1
XikAkj =
n
X
k=1
1
det A
DkiAkj.
• Pro i = j aplikujeme Vˇetu 22 a m´
ame
[XA]ii =
1
det A
n
X
k=1
DkiAki =
det A
det A
= 1.
• Pro i 6= j uvaˇ
zujme matici B, kter´a vznikne z A n´ahradou i-t´eho sloupce j-t´ym. Determinant
matice B je nulov´y, a poˇc´ıt´ame-li det B rozvojem podle i-t´eho sloupce, dostaneme 0 =
det B =
Pn
k=1 DkiAkj . Proto [XA]ij = 0.
Pozn´
amka 16. V´
yhodou vzorce pro v´
ypoˇ
cet A
−1 pomoc´ı Aadj oproti ´upln´e Gaussovˇe eliminaci je
moˇ
znost vypoˇ
c´ıst konkr´
etn´ı prvek Aij =
1
det A
Dji, aniˇz bychom poˇc´ıtali celou A
−1. Nev´yhodou je
pomalost, n´
aroˇ
cnost v´
ypoˇ
ctu.
Pozn´
amka 17. Jak spoˇ
cteme det A
adj , zn´ame-li det A?
ˇ
Reˇ
sen´
ı: Jelikoˇ
z A
−1 =
1
det A A
adj , m´ame
1
det A
= det A
−1 = ( 1
det A
)n det A
adj . ˇ
C´ıslem
1
det A
je
vyn´
asoben´
y kaˇ
zd´
y ˇ
r´
adek matice A
adj , odtud n-t´a mocnina. Na z´avˇer dost´av´ame
det A
adj = (det A)n
−1.
Pozn´
amka 18. Vzorec pro zapamatov´
an´ı v´
ypoˇ
ctu A
−1 pomoc´ı Aadj podle Cayleyho A−1 =
a
b
c
a
0
b
0
c
0
a
00 b00 c00
−1
=
1
∇
∂a∇ ∂
a0 ∇ ∂a00 ∇
∂b∇ ∂b0 ∇ ∂b00 ∇
∂c∇ ∂c0 ∇ ∂c00 ∇
, kde ∇ znaˇ
c´ı det A. Skuteˇcnˇe algebraick´y doplnˇek prvku a, tj. b
0c00 − b00c0,
z´ısk´
ame parci´
aln´ı derivac´ı determinantu ∇ = ab0c00 + a0b00c + a00bc0 − a00b0c − ab00c0 − a0bc00 podle a.
Pˇ
r´
ıklad 20. Najdˇ