Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
0
9
= −54.
Lemma 4. Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s prvky z tˇelesa T . Necht’ B vznikne z A nˇejakou
ekvivalentn´ı ˇ
r´
adkovou ´
upravou. Pak plat´ı, ˇ
ze det B = det T det A, kde T vznikla z I stejnou ekviva-
lentn´ı ˇ
r´
adkovou ´
upravou.
D˚
ukaz. S vyuˇ
zit´ım Vˇ
ety 17 o ˇ
r´
adkov´
ych a sloupcov´
ych ´
uprav´
ach determinant˚
u m´
ame n´
asleduj´ıc´ı
tvrzen´ı.
1. Vznikne-li B z A vyn´asoben´ım nˇejak´eho ˇr´adku nenulov´ym ˇc´ıslem α, pak det B = α det A.
Vznikne-li T z I vyn´asoben´ım nˇejak´eho ˇr´adku nenulov´ym ˇc´ıslem α, pak det T = α det I = α.
2. Vznikne-li B z A z´amˇenou dvou ˇr´adk˚
u, pak det B = − det A. Vznikne-li T z I z´amˇenou
dvou ˇ
r´
adk˚
u, pak det T = − det I = −1.
3. Vznikne-li B z A pˇriˇcten´ım nˇejak´eho ˇr´adku k vybran´emu ˇr´adku, pak det B = det A. Vznikne-
li T z I pˇriˇcten´ım nˇejak´eho ˇr´adku k vybran´emu ˇr´adku, pak det T = det I = 1.
Ve vˇ
sech tˇ
rech pˇ
r´ıpadech tedy plat´ı det B = det T det A.
18
Vˇ
eta 18. Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s prvky z tˇelesa T . Necht’ B vznikne z A koneˇcn´ym
poˇ
ctem ekvivalentn´ıch ˇ
r´
adkov´
ych ´
uprav. Pak det B = det T det A, kde T vznikla z I stejn´ymi ekvi-
valentn´ımi ˇ
r´
adkov´
ymi ´
upravami ve stejn´
em poˇ
rad´ı.
D˚
ukaz. Necht’ B vznikla z A proveden´ım k E ˇ
R ´
U. Necht’ Ti je matice, kter´a vznikla z I proveden´ım
i-t´
e E ˇ
R ´
U. Pak podle Vˇ
ety 12 plat´ı B = TkTk−1 . . . T2T1A. Opakovanou aplikac´ı Lemmatu 4
dostaneme
det B = det Tk det Tk−1 . . . det T2 det T1 det A.
Oznaˇ
cme T = TkTk−1 . . . T2T1 = TkTk−1 . . . T2T1I. Pak podle Vˇety 12 T vznikla z I proveden´ım