Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

plyne det A = A11A22 . . . Ann.

Determinanty matic ˇ

r´

ad˚

u vyˇ

sˇ

s´ıch neˇ

z 3 budeme poˇ

c´ıtat tak, ˇ

ze matice pomoc´ı ˇ

r´

adkov´

ych a

sloupcov´

ych ´

uprav pˇ

revedeme do troj´

uheln´ıkov´

eho tvaru, aniˇ

z by se determinant zmˇ

enil, a pak

uˇ

zijeme faktu, ˇ

ze determinant troj´

uheln´ıkov´

e matice je souˇ

cin prvk˚

u na diagon´

ale.

16

Vˇ

eta 17 ( ˇ

R´

adkov´

e a sloupcov´

e ´

upravy determinant˚

u). Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s

prvky z tˇ

elesa T . Pak plat´ı:

1. Vznikne-li B n´asoben´ım nˇekter´eho ˇr´adku (sloupce) matice A ˇc´ıslem α, pak det B = α det A.

2. Je-li nˇ

ekter´

y ˇ

r´

adek (sloupec) A nulov´y, pak det A = 0.

3. M´

a-li A dva ˇr´adky (sloupce) stejn´e, pak det A = 0.

4. Pˇ

ripoˇ

cteme-li k jednomu ˇ

r´

adku (sloupci) matice A LK jin´ych sloupc˚

u (ˇ

r´

adk˚

u), determinant

se nezmˇ

en´ı.

5. Vznikne-li B z A prohozen´ım dvou ˇr´adk˚

u (sloupc˚

u), det B = − det A.

6. Oznaˇ

cme A = (~a1, . . . ,~ai−1, ~p,~ai+1, . . . ,~an) a B = (~a1, . . . ,~ai−1, ~q,~ai+1, . . . ,~an), pak det A +

det B = det(~a1, . . . ,~ai−1, ~p + ~q,~ai+1, . . . ,~an). Analogick´e tvrzen´ı plat´ı pro ˇr´adky.

D˚

ukaz. U kaˇ

zd´

eho tvrzen´ı dok´

aˇ

zeme jen ˇ

r´

adkovou variantu. Sloupcov´

a varianta pak plyne z

Vˇ

ety 15, tedy z faktu, ˇ

ze determinant matice a matice k n´ı transponovan´

e jsou stejn´

e.

1. Necht’ B vznikne z A vyn´asoben´ım i-t´eho ˇr´adku ˇc´ıslem α, pak

det B =

P

π∈Sn sgn π B1π(1) . . . Biπ(i) . . . Bnπ(n)

=

P

π∈Sn sgn π A1π(1) . . . (αAiπ(i)) . . . Anπ(n)

=

α

P

π∈Sn sgn π A1π(1) . . . Aiπ(i) . . . Anπ(n)

=

α det A.

2. M´