Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

stejn´

ych E ˇ

R ´

U ve stejn´

em poˇ

rad´ı jako B z A. Opakovanou aplikac´ı Lemmatu 4 dostaneme

det T = det Tk det Tk−1 . . . det T2 det T1 det I.

T´ım je dok´

az´

ano, ˇ

ze det B = det T det A.

Pozn´

amka 15. Z d˚

ukazu pˇ

redchoz´ı vˇ

ety plyne, ˇ

ze determinant matice, kter´

a vznikne z I koneˇcn´ym

poˇ

ctem E ˇ

R ´

U je nenulov´

y. Je totiˇ

z souˇ

cinem determinant˚

u matic, kter´

e vznikly jednou E ˇ

R ´

U z I,

a tedy jsou rovny −1 (z´

amˇ

ena ˇ

r´

adk˚

u), 1 (pˇ

riˇ

cten´ı jin´

eho ˇ

r´

adku k vybran´

emu) nebo α (vyn´

asoben´ı

ˇ

r´

adku nenulov´

ym ˇ

c´ıslem α).

Vˇ

eta 19 (Alternativn´ı definice regul´

arn´ı matice). Necht’ A je ˇctvercov´a matice s prvky z tˇelesa T .

A regul´

arn´ı, pr´

avˇ

e kdyˇ

z det A 6= 0.

D˚

ukaz. Dok´

aˇ

zeme dvˇ

e implikace.

(⇒) : Necht’ A je regul´arn´ı, pak A lze pˇrev´est E ˇ

R ´

U na I, tj. existuje matice T vznikl´a z I E ˇ

R ´

U

takov´

a, ˇ

ze TA = I. Podle Vˇety 18 plat´ı det T det A = det I = 1. Odtud je jasn´e, ˇze det A 6= 0.

(⇐) : A lze pˇrev´est E ˇ

R ´

U na matici ˆ

A v horn´ım stupˇ

novit´

em tvaru, existuje tedy T vznikl´a z I

E ˇ

R ´

U takov´

a, ˇ

ze ˆ

A = TA. Podle Vˇ

ety 18 a pˇ

redchoz´ı pozn´

amky plat´ı det ˆ

A = det T det A 6= 0.

ˇ

Ctvercov´

a matice v horn´ım stupˇ

novit´

em tvaru s nenulov´

ym determinantem m´

a na diagon´

ale sam´

a

nenulov´

a ˇ

c´ısla, a tedy m´

a sam´

e hlavn´ı sloupce a hodnost rovnu n. Odtud uˇ

z plyne, ˇ

ze hodnost A

je tak´

e rovna n, tedy A je regul´arn´ı.

Vˇ

eta 20 (Determinant souˇ

cinu matic). Jsou-li A, B ˇctvercov´e matice stejn´eho ˇr´adu s prvky z tˇelesa