Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
a-li A i-t´y ˇr´adek nulov´y, pak pro kaˇzdou permutaci π na ˆ
n je prvek Aiπ(i) = 0, proto kaˇzd´y
ˇ
clen determinantu A je nulov´y.
3. M´
a-li A stejn´y i-t´y a j-t´y ˇr´adek, kde i < j, pak uk´aˇzeme, ˇze det A obsahuje s kaˇzd´ym
ˇ
clenem x = sgn π A1π(1) . . . Aiπ(i) . . . Ajπ(j) . . . Anπ(n) tak´e ˇclen s opaˇcn´ym znam´enkem −x =
−sgn π A1π(1) . . . Aiπ(i) . . . Ajπ(j) . . . Anπ(n). Odtud uˇz bude jasn´e, ˇze det A = 0.
Jelikoˇ
z Aik = Ajk pro kaˇzd´e k ∈ ˆ
n, m´
ame prvn´ı a posledn´ı rovnost, druh´
a plyne z definice
transpozice τij:
−x
=
−sgn π A1π(1) . . . Aiπ(i) . . . Ajπ(j) . . . Anπ(n)
=
−sgn π A1π(1) . . . Ajπ(i) . . . Aiπ(j) . . . Anπ(n)
=
sgn (π ◦ τij) A1(π◦τ
ij )(1) . . . Aj(π◦τij )(j) . . . Ai(π◦τij )(i) Anπ(n) ,
=
sgn (π ◦ τij) A1(π◦τ
ij )(1) . . . Ai(π◦τij )(i) . . . Aj(π◦τij )(j) Anπ(n) ,
vid´ıme tedy, ˇ
ze −x je ˇ
clen det A, kter´y odpov´ıd´a permutaci π ◦ τij.
4. Necht’ B vznikne z A pˇriˇcten´ım LK ostatn´ıch ˇr´adk˚
u k i-t´
emu ˇ
r´
adku, pak
det B =
P
π∈Sn sgn π B1π(1) . . . Biπ(i) . . . Bnπ(n)
=
P
π∈Sn sgn π A1π(1) . . . (Aiπ(i) +
Pn
k=1,k6=i αk Akπ(i)) . . . Anπ(n)
=
P
π∈Sn sgn π A1π(1) . . . Aiπ(i) . . . Anπ(n) +
Pn
k=1,k6=i αk
P
π∈Sn sgn π A1π(1) . . . Akπ(i) . . . Anπ(n)
=
det A,
kde posledn´ı rovnost plyne z faktu, ˇ
ze pro kaˇ
zd´
e k 6= i je
P
π∈Sn sgn π A1π(1) . . . Akπ(i) . . . Anπ(n)
rovno determinantu matice, kter´
a vznikla z A n´ahradou i-t´eho ˇr´adku k-t´ym, a m´a tedy podle