Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

Nebo jin´

y zp˚

usob:

•  ◦ τ14 =

1

2

3

4

4

2

3

1

,

•  ◦ τ14 ◦ τ23 =

1

2

3

4

4

3

2

1

,

•  ◦ τ14 ◦ τ23 ◦ τ34 =

1

2

3

4

4

3

1

2

.

Dost´

av´

ame tedy π1 = τ14 ◦τ23 ◦τ34. Tak´e napˇr´ıklad π1 = τ14 ◦τ23 ◦τ34 ◦τ12 ◦τ12, protoˇze τ12 ◦τ12 = .

Vˇ

eta 14 (Rozklad permutace na transpozice). Kaˇ

zd´

a permutace je sloˇ

zen´ım koneˇ

cn´

eho poˇ

ctu

transpozic a plat´ı sgnπ = (−1)k pro π = τ1 ◦ τ2 ◦ · · · ◦ τk, kde τi jsou transpozice.

D˚

ukaz. Bez d˚

ukazu.

Pozn´

amka 10. Pˇ

ri zapisov´

an´ı π1 jako sloˇzen´ı transpozic jsme vidˇeli, ˇze rozklad na transpozice

nen´ı jednoznaˇ

cn´

y a ˇ

ze ani poˇ

cet transpozic v rozkladu nen´ı jednoznaˇ

cn´

y. Z vˇ

ety se dozv´ıd´

ame, ˇ

ze

jednoznaˇ

cn´

a je parita poˇ

ctu transpozic v rozkladu permutace, tj. sudost ˇ

ci lichost.

Pozn´

amka 11. Transpozice je lich´

a permutace, jak plyne z Vˇ

ety 14.

D˚

usledek 6. Necht’ π1, π2 ∈ Sn. Pak sgn (π1 ◦ π2) = sgn π1 · sgn π2.

D˚

ukaz. Necht’ π1 je sloˇzen´ım k transpozic τ1, τ2, . . . , τk a π2 je sloˇzen´ım ` transpozic ˆ

τ1, ˆ

τ2, . . . , ˆ

τ`,

tj. π1 = τ1 ◦ τ2 ◦ · · · ◦ τk a π2 = ˆ

τ1 ◦ ˆ

τ2 ◦ · · · ◦ ˆ

τ`. Pak

π1 ◦ π2 = τ1 ◦ τ2 ◦ · · · ◦ τk ◦ ˆ

τ1 ◦ ˆ

τ2 ◦ · · · ◦ ˆ

τ`

a podle Vˇ

ety 14 m´

ame sgn π1 = (−1)

k , sgn π2 = (−1)` a sgn (π1 ◦ π2) = (−1)k+`, odtud plyne

sgn (π1 ◦ π2) = sgn π1 · sgn π2.

D˚

usledek 7. Necht’ π ∈ Sn. Pak sgn π = sgn π

−1.

D˚

ukaz. Jelikoˇ

z π ◦ π−1 =  a identita m´

a znam´

enko 1, m´

ame podle pˇ