Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
cet ekvivalentn´ıch ˇ
r´
adkov´
ych ´
uprav, je v´
ysledn´
a matice rovna matici TC,
kde T je ˇctvercov´a matice ˇr´adu m, kter´a vznikla z I stejn´ymi ˇr´adkov´ymi ´
upravami (E ˇ
R ´
U) ve stejn´
em
poˇ
rad´ı.
D˚
ukaz. Provedeme-li v C k E ˇ
R ´
U, je v´
ysledn´
a matice rovna podle Pomocn´
eho lematu 3
Tk . . . T2T1C,
kde Ti je matice vznikl´a z jednotkov´e i-tou E ˇ
R ´
U. Oznaˇ
cme T = Tk . . . T2T1, pak T = Tk . . . T2T1I
a podle Pomocn´
eho lematu 3 vid´ıme, ˇ
ze T vznikla z I stejn´ymi k E ˇ
R ´
U proveden´
ymi ve stejn´
em
poˇ
rad´ı.
Pˇ
r´
ıklad 6. V matici C prov´ad´ıme E ˇ
R ´
U: z´
amˇ
ena 1. a 2. ˇ
r´
adku, pˇ
riˇ
cten´ı 1. ˇ
r´
adku k 2. ˇ
r´
adku,
vyn´
asoben´ı 3. ˇ
r´
adku ˇ
c´ıslem 2. Ovˇ
eˇ
rte, ˇ
ze vznikl´
a matice je rovna TC, kde T vznikla stejn´ymi
ˇ
r´
adkov´
ymi ´
upravami proveden´
ymi ve stejn´
em poˇ
rad´ı z jednotkov´
e matice, tj.
C =
1
0
−1
2
3
3
4
4
2
∼
2
3
3
1
0
−1
4
4
2
∼
2
3
3
3
3
2
4
4
2
∼
2
3
3
3
3
2
8
8
4
= TC,
kde T =
0
1
0
1
1
0
0
0
2
.
Vˇ
eta 13 ( ´
Upln´
a Gaussova eliminace). Necht’ A je regul´arn´ı matice ˇr´adu n a B je matice typu n×m.
Pak A lze pˇrev´est ekvivalentn´ımi ˇr´adkov´ymi ´
upravami na jednotkovou matici. Pokud pˇ
revedeme
rozˇ
s´ıˇ
renou matici (A | B) ekvivalentn´ımi ˇr´adkov´ymi ´
upravami do tvaru (I | X). Pak X = A
−1
B.
Symbolicky zaps´
ano
(A | B) ∼ I | A
−1
B
.
D˚
ukaz. A po pˇreveden´ı E ˇ
R ´
U do horn´ıho stupˇ
novit´
eho tvaru m´
a na diagon´
ale sam´
a nenulov´
a
ˇ
c´ısla d´ıky regularitˇ
e. Pot´
e kaˇ
zd´
y ˇ
r´
adek vydˇ
el´ıme odpov´ıdaj´ıc´ım ˇ
c´ıslem na diagon´
ale, ˇ
c´ımˇ
z do-
staneme na diagon´
ale jedniˇ
cky. A nad diagon´
alou jiˇ
z snadno E ˇ
R ´
U vyrob´ıme nuly – nejprve v