Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
s´ıch ˇ
r´
ad˚
u pravidlo uˇ
z´ıt nejde. Sami si rozmyslete, ˇ
ze seps´
an´ım ˇ
r´
adk˚
u a
Obr´
azek 2: Souˇ
cin prvk˚
u matice spojen´
ych ˇ
sipkami smˇ
erem vpravo dol˚
u m´
a v determinantu
znam´
enko plus, souˇ
cin prvk˚
u spojen´
ych ˇ
sipkami smˇ
erem vpravo nahoru m´
a v determinantu
znam´
enko m´ınus.
spojov´
an´ım prvk˚
u ˇ
sipkami uˇ
z nevyrob´ıme vˇ
sechny ˇ
cleny determinantu (napˇ
r. pro ˇ
r´
ad 4 dostaneme
jen 8 r˚
uzn´
ych souˇ
cin˚
u, ale ˇ
clen˚
u determinantu je 24).
Vˇ
eta 15 (Determinant transponovan´
e matice). Necht’ A je ˇctvercov´a matice s prvky z tˇelesa T .
Pak det A
T = det A.
15
D˚
ukaz. Necht’ A je ˇr´adu n. Podle definice determinantu m´ame prvn´ı rovnost a podle definice A
T
druhou rovnost
det A
T
=
P
π∈Sn sgn π A
T
1π(1)A
T
2π(2) . . . A
T
nπ(n)
=
P
π∈Sn sgn π Aπ(1)1Aπ(2)2 . . . Aπ(n)n.
Protoˇ
ze pro libovolnou permutaci π ∈ Sn plat´ı π
−1 =
1
2
...
n
π
−1 (1) π−1(2) ... π−1(n)
=
π(1) π(2) ... π(n)
1
2
...
n
,
je zˇ
rejm´
e, ˇ
ze Aπ(1)1Aπ(2)2 . . . Aπ(n)n = A1π−1(1)A2π−1(2) . . . Anπ−1(n) (souˇcin stejn´y je, ale poˇrad´ı
ˇ
cinitel˚
u nemus´ı b´
yt). Vyuˇ
zijeme jeˇ
stˇ
e faktu, ˇ
ze sgn π = sgn π−1, a m˚
uˇ
zeme ps´
at
det A
T
=
P
π∈Sn sgn π
−1
A1π−1(1)A2π−1(2) . . . Anπ−1(n)
=
P
σ∈Sn sgn σ A1σ(1)A2σ(2) . . . Anσ(n)
=
det A.
Pozn´
amka 13. Z pˇ
redchoz´ıho d˚
ukazu si zapamatujme, ˇ
ze vzorec
det A =
X
π∈Sn
sgn π Aπ(1)1Aπ(2)2 . . . Aπ(n)n
m˚
uˇ
zeme tak´
e povaˇ
zovat za definici determinantu.
Nyn´ı pˇ
redstav´ıme tˇ
r´ıdu matic, pro kter´
e je snadn´
e spoˇ
c´ıst determinant.
Definice 10. Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s prvky z tˇelesa T . Pak A nazveme
• horn´ı troj´
uheln´
ıkovou matic´
ı, pokud pro kaˇ
zd´
e i, j ∈ ˆ