Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

x >=< ~

x|~0 >= 0,

2. antilinearita v 2. argumentu: pro kaˇ

zd´

e ~

x, ~

y, ~

z a kaˇ

zd´

e α ∈ T plat´ı:

• < ~

x|~

y + ~

z >=< ~

x|~

y > + < ~

x|~

z >,

• < ~

x|α~

y >= α < ~

x|~

y >,

3. je-li V re´

aln´

y vektorov´

y prostor, pak je skal´

arn´ı souˇ

cin symetrick´

y, tedy < ~

x|~

y >=< ~

y|~

x >

pro kaˇ

zd´

e ~

x, ~

y ∈ V , a line´

arn´ı v obou argumentech.

D˚

ukaz.

1. < ~0|~

x >=< 0~

x|~

x >= 0 < ~

x|~

x >= 0, kde jsme vyuˇ

zili homogenitu skal´

arn´ıho souˇ

cinu v 1.

argumentu, < ~

x|~0 >= < ~0|~

x > = 0 = 0, kde jsme vyuˇ

zili hermitovskost skal´

arn´ıho souˇ

cinu,

2.

• s vyuˇzit´ım hermitovskosti skal´

arn´ıho souˇ

cinu a jeho aditivity v 1. argumentu dostaneme

< ~

x|~

y+~

z >= < ~

y + ~

z|~

x > = < ~

y|~

x > + < ~

z|~

x > = < ~

y|~

x >+< ~

z|~

x > =< ~

x|~

y > + < ~

x|~

z >,

• s vyuˇzit´ım hermitovskosti skal´

arn´ıho souˇ

cinu a jeho homogenity v 1. argumentu dosta-

neme

< ~

x|α~

y >= < α~

y|~

x > = α < ~

y|~

x > = α< ~

y|~

x > = α < ~

x|~

y >,

3. vˇ

sude si m˚

uˇ

zeme odmyslet komplexn´ı sdruˇ

zen´ı, jelikoˇ

z jde o re´

aln´

a ˇ

c´ısla.

24

Pˇ

r´

ıklad 24. Nejtypiˇ

ctˇ

ejˇ

s´ım pˇ

r´ıkladem skal´

arn´ıho souˇ

cinu je standardn´

ı skal´

arn´

ı souˇ

cin

• definovan´

y pro vektory ~

x =

x1

x2

..

.

xn

a ~

y =

y1

y2

..

.

yn

∈ C

n jako

< ~

x|~

y >=

n

X

k=1

xkyk,

C

n se standardn´ım skal´arn´ım souˇcinem naz´yv´ame unit´

arn´

ı prostor,

• definovan´

y pro vektory ~

x =

x1

x2

..

.

xn

a ~

y =

y1

y2

..

.

yn

∈ R

n jako

< ~

x|~

y >=

n

X

k=1

xkyk,

R

n se standardn´ım skal´arn´ım souˇcinem naz´yv´ame eukleidovsk´

y prostor.

Ovˇ

eˇ

rte, ˇ

ze jsou splnˇ