Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

zdy vˇ

etˇ

s´ı neˇ

z strana tˇ

ret´ı, viz obr´

azek 6.

Obr´

azek 6: V troj´

uheln´ıku je souˇ

cet libovoln´

ych dvou stran vˇ

etˇ

s´ı neˇ

z strana tˇ

ret´ı.

Pozn´

amka 28. Pamatujte si, kdy nast´

av´

a rovnost v troj´

uheln´ıkov´

e nerovnosti. Je totiˇ

z snazˇ

s´ı

ovˇ

eˇ

rit, zda je jeden vektor nez´

aporn´

ym n´

asobkem druh´

eho, neˇ

z poˇ

c´ıtat pˇ

r´ısluˇ

sn´

e normy.

Vˇ

eta 29 (Rovnobˇ

eˇ

zn´ıkov´

a rovnost). Necht’ ~

x, ~

y ∈ (V, < .|. >). Pak

k ~

x + ~

y k

2 + k ~x − ~y k2= 2(k ~x k2 + k ~y k2).

D˚

ukaz. Vyuˇ

zit´ım aditivity skal´

arn´ıho souˇ

cinu v obou argumentech dostaneme

k ~

x + ~

y k2 + k ~

x − ~

y k2

=

< ~

x + ~

y|~

x + ~

y > + < ~

x − ~

y|~

x − ~

y >

=

< ~

x|~

x > + < ~

y|~

y > + < ~

x|~

y > + < ~

y|~

x > + < ~

x|~

x > + < ~

y|~

y > − < ~

x|~

y > − < ~

y|~

x >

=

2(k ~

x k2 + k ~

y k2)

.

Pozn´

amka 29. Rovnobˇ

eˇ

zn´ıkov´

a rovnost je zobecnˇ

en´ım zn´

am´

eho faktu, ˇ

ze souˇ

cet ˇ

ctverc˚

u stran v

rovnobˇ

eˇ

zn´ıku je roven souˇ

ctu ˇ

ctverc˚

u ´

uhlopˇ

r´ıˇ

cek, viz obr´

azek 7.

4.2

Ortogonalita

Definice 15.

1. Necht’ ~

x, ~

y ∈ (V, < .|. >). ˇ

Rekneme, ˇ

ze ~

x a ~

y jsou kolm´

e (ortogon´

aln´

ı), plat´ı-li < ~

x|~

y >= 0.

2. Necht’ (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je soubor vektor˚

u z (V, < .|. >). Soubor nazveme

(a) ortogon´

aln´

ı (OG), pokud < ~

xi|~xj >= 0 pro kaˇzd´e i, j ∈ ˆ

n, i 6= j,

28

Obr´

azek 7: Souˇ

cet ˇ

ctverc˚

u stran v rovnobˇ

eˇ

zn´ıku je roven souˇ

ctu ˇ

ctverc˚

u ´

uhlopˇ

r´ıˇ

cek.

(b) ortonorm´

aln´

ı (ON), pokud < ~

xi|~xj >= δij, kde Kroneckerovo delta δij = 0 pro kaˇzd´e

i, j ∈ ˆ