Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

x|~

y >=

α < ~

x|~

y >= 0, tedy α~

x ∈ P ⊥.

2. Oˇ

setˇ

r´ıme tˇ

ri pˇ

r´ıpady.

• Je-li P = {~0}. Pak P ⊥ = V a V = {~0} ⊕ V .

• Je-li P = V . Pak P ⊥ = {~0} a V = V ⊕ {~0}.

• Necht’ P 6= {~0} a P 6= V .

(a) V = P + P ⊥: Podle Gramovy-Schmidtovy vˇ

ety existuje ON b´

aze P , oznaˇ

cme ji

(~

x1, . . . , ~xk). Opˇet podle Gramovy-Schmidtovy vˇety ji um´ıme doplnit na ON b´

azi V ,

oznaˇ

cme ji (~

x1, . . . , ~xk, ~xk+1, ~xn). Uvaˇzujme libovoln´e ~x ∈ V , pak podle D˚

usledku 10

v´ıme, ˇ

ze ~

x =

Pn

i=1 < ~

x|~

xi > ~xi. Dok´

aˇ

zeme, ˇ

ze poloˇ

z´ıme-li ~

xP =

Pk

i=1 < ~

x|~

xi > ~xi,

pak ~

xP ∈ P a ~xP ⊥ = ~x−~xP ∈ P

⊥, tedy bude dok´az´ano, ˇze P +P ⊥ = V . Je zˇrejm´e,

ˇ

ze ~

xP ∈ P , protoˇze je LK bazick´

ych vektor˚

u P . Ovˇ

eˇ

rme, ˇ

ze < ~

xP ⊥|~xj >= 0 pro

kaˇ

zd´

e j ∈ ˆ

k, tedy pro bazick´

e vektory P . Pak uˇ

z bude jasn´

e, ˇ

ze < ~

xP ⊥|~y >= 0 pro

kaˇ

zd´

e ~

y ∈ P .

< ~

xP ⊥|~xj >=< ~x−~xP |~xj >=<

n

X

i=k+1

< ~

x|~

xi > ~xi|~xj >=

n

X

i=k+1

< ~

x|~

xi >< ~xi|~xj >= 0,

protoˇ

ze j ≤ k.

31

(b) V = P ⊕ P ⊥: Pro direktnost staˇ

c´ı ovˇ

eˇ

rit, ˇ

ze P ∩ P ⊥ = {~0}. To je pravda, protoˇ

ze

vektor z pr˚

uniku ~

x ∈ P ∩ P ⊥ mus´ı b´

yt kolm´

y s´

am na sebe, tj. < ~

x|~

x >= 0, proto

~

x = ~0.

3. Dokazujeme rovnost dvou mnoˇ

zin, tedy dvˇ

e inkluze.

P ⊂ (P ⊥)⊥: Zapiˇ

sme, jak vypad´

a (P ⊥)⊥ = {~

y ∈ V

< ~

y|~

x >= 0 pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ P ⊥}. Je

vidˇ