Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

asobnost λ jakoˇ

zto koˇ

rene charakteristick´

eho

polynomu p

A.

Vˇ

eta 40 (Vztah algebraick´

e a geometrick´

e n´

asobnosti). Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s

prvky z C. Pak pro kaˇzd´e λ ∈ σ(A) plat´ı

νa(λ) ≥ νg(λ).

D˚

ukaz. Oznaˇ

cme k = νg(λ). Podle definice geometrick´e n´

asobnost´ı um´ıme naj´ıt k LN vlastn´ıch

vektor˚

u pˇ

r´ısluˇ

sn´

ych λ. Oznaˇ

cme je ~

x1, ~x2, . . . , ~xk. Doplˇ

nme soubor (~

x1, ~x2, . . . , ~xk) na b´

azi (~

x1, ~x2, . . . , ~xn)

prostoru C

n. Vytvoˇrme matici X maj´ıc´ı sloupce ~x1, ~x2, . . . , ~xn, takov´a matice je jistˇe regul´arn´ı,

nebot’ m´

a LN sloupce. Proto existuje X

−1. Podle Vˇety 20 o determinantu souˇcinu matic plat´ı

p

A(t) = det(A − tI) = det

X

−1(A − tI)X .

Jelikoˇ

z A~xi = λ~xi pro kaˇzd´e i ∈ ˆ

k, snadno si rozmysl´ıme, ˇ

ze

det X

−1(A − tI)X = det (λ − t)~e1, . . . , (λ − t)~ek, X−1A~xk+1 − t~ek+1, . . . , X−1A~xn − t~en = (λ−t)kq(t),

kde posledn´ı rovnost jsme z´ıskali opakovan´

ym rozvojem determinantu podle prvn´ıho ˇ

r´

adku a

q(t) je polynom stupnˇ

e n − k, kter´

y je roven determinantu, jenˇ

z po rozvoji zbude. Z rovnosti

p

A(t) = (λ − t)

k q(t) je jasn´e, ˇze νa(λ) ≥ k = νg(λ).

Pozn´

amka 39. Je-li λ vlastn´ı ˇ

c´ıslo A, pak zˇrejmˇe νa(λ) ≥ 1 a νg(λ) ≥ 1. Podle Vˇety 40

dost´

av´

ame, ˇ

ze jakmile νa(λ) = 1, pak tak´e νg(λ) = 1.

Vˇ

eta 41 (LN vlastn´ıch vektor˚

u). Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s prvky z C. Necht’ λ1, λ2, . . . , λk

jsou vz´

ajemnˇ

e r˚

uzn´

a vlastn´ı ˇ

c´ısla, necht’ ~

x1, ~x2, . . . , ~xk jsou jim pˇr´ısluˇsn´e vlastn´ı vektory A. Pak