Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

zd´

e i ∈ ˆ

k a kaˇ

zd´

e ji ∈ {1, . . . , νg(λi)} pak plyne z LN

souboru (~

x

(i)
1 , ~

x

(i)
2 , . . . , ~

x

(i)
νg(λi)

) pro kaˇ

zd´

e i ∈ ˆ

k. T´ım je LN cel´

eho souboru dok´

az´

ana.

5.2

Diagonalizace matic

Definice 23. Necht’ A, B jsou ˇctvercov´e matice ˇr´adu n s prvky z C. ˇ

Rekneme, ˇ

ze A je podobn´a

B, pokud existuje regul´

arn´ı matice X ˇr´adu n takov´a, ˇze A = XBX

−1.

Pozn´

amka 40. Podobnost je ekvivalence na mnoˇ

zinˇ

e ˇ

ctvercov´

ych matic ˇ

r´

adu n, tj.

• A je podobn´a sama sobˇe,

• je-li A podobn´a B, pak B je podobn´a A,

• je-li A podobn´a B a B podobn´a C, pak A je podobn´a C.

D˚

ukaz ponech´

an ˇ

cten´

aˇ

ri, plyne snadno z definice podobnosti.

Vˇ

eta 43 (Vlastnosti podobn´

ych matic). Necht’ A, B jsou ˇctvercov´e matice ˇr´adu n s prvky z C.

Necht’ A je podobn´a B.

1. Pak p

A = pB, tedy i σ(A) = σ(B) a ν

A

a (λ) = ν

B

a (λ) pro kaˇ

zd´

e λ ∈ σ(A) = σ(B), kde νA

a (λ)

znaˇ

c´ı geometrickou n´

asobnost λ pro matici A a podobnˇe pro B.

Slovy: “Charakteristick´

e polynomy podobn´

ych matic se rovnaj´ı, tedy i jejich spektra jsou

stejn´

a, speci´

alnˇ

e algebraick´

e n´

asobnosti stejn´

ych vlastn´ıch ˇ

c´ısel jsou stejn´

e.”

2. Je-li λ ∈ σ(A) = σ(B), pak νA

g (λ) = ν

B

g (λ), kde ν

A

g (λ) znaˇ

c´ı geometrickou n´

asobnost λ pro

matici A a podobnˇe pro B.
Slovy: “Geometrick´

e n´

asobnosti stejn´

ych vlastn´ıch ˇ

c´ısel podobn´

ych matic jsou stejn´

e.”

D˚

ukaz. Necht’ A = XBX

−1, pak

p

A(t) = det(A − tI) = det(XBX

−1 − tI) = det(X(B − tI)X−1) = det(B − tI) = p

B(t).

T´ım je dok´

az´

ana rovnost charakteristick´

ych polynom˚

u, tedy i spekter a algebraick´