Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

λ−t

. .

.

λ−t

µ−t

. .

.

,

36

kde vpravo vystupuje determinant matice, kter´

a m´

a na diagon´

ale vlastn´ı ˇ

c´ısla zmenˇ

sen´

a o t

(protoˇ

ze X je sestaven´a z vlastn´ıch vektor˚

u A) a λ − t je pr´avˇe na prvn´ıch k diagon´aln´ıch pozic´ıch

(protoˇ

ze ~

x1, . . . , ~xk pˇr´ısluˇs´ı λ). Odtud plyne, ˇze λ je k-n´

asobn´

ym koˇ

renem charakteristick´

eho po-

lynomu, tedy νa(λ) = k. Jelikoˇz k ≤ νg(λ) ≤ νa(λ), m´

ame dok´

az´

ano, ˇ

ze νa(λ) = νg(λ).

(⇐) : Necht’ m´

a matice A k r˚

uzn´

ych vlastn´ıch ˇ

c´ısel λ1, . . . , λk. Ke kaˇzd´emu vlastn´ımu ˇc´ıslu λi lze

naj´ıt νg(λi) LN vlastn´ıch vektor˚

u ~

x

(i)
1 , ~

x

(i)
2 , . . . , ~

x

(i)
νg(λi)

. Ukaˇ

zme, ˇ

ze soubor vytvoˇ

ren´

y z vektor˚

u

~

x

(i)
1 , ~

x

(i)
2 , . . . , ~

x

(i)
νg(λi)

pro i ∈ ˆ

k tvoˇ

r´ı b´

azi C

n. Jejich poˇcet je roven P

k
i=1 νg (λi) =

Pk

i=1 νa(λi) = n,

kde prvn´ı rovnost plyne z rovnost´ı νg(λ) = νa(λ) pro kaˇzd´e λ ∈ σ(A) a druh´a z faktu, ˇze souˇcet
algebraick´

ych n´

asobnost´ı vlastn´ıch ˇ

c´ısel je roven stupni charakteristick´

eho polynomu, tedy n. Staˇ

c´ı

proto uk´

azat, ˇ

ze soubor je LN. Uvaˇ

zujme LK souboru rovnou nulov´

emu vektoru, tj.

νg(λ1)

X

j1=1

α

(1)
j1 ~

x

(1)
j1 +

νg(λ2)

X

j2=1

α

(2)
j2 ~

x

(2)
j2 + · · · +

νg(λk)

X

jk=1

α

(k)
jk ~

x

(k)
jk =

~0.

Kaˇ

zd´

a ze sum je bud’ rovna nulov´

emu vektoru, nebo jde o vlastn´ı vektor A (jelikoˇz se jedn´a

o LK vlastn´ıch vektor˚

u pˇ

r´ısluˇ

sn´

ych dan´

emu vlastn´ımu ˇ

c´ıslu). Jelikoˇ

z jsou ovˇ

sem vlastn´ı vektory

pˇ

r´ısluˇ

sn´

e r˚

uzn´

ym vlastn´ım ˇ

c´ısl˚

um LN, nutnˇ

e nast´

av´

a prvn´ı moˇ

znost, tedy sumy jsou rovny nulov´

ym

vektor˚

um. Nulovost koeficient˚

u α

(i)
ji

pro kaˇ