Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

1 ) = i (

i

1 ) .

Vˇ

eta 35 (LK vlastn´ıch vektor˚

u jsou vlastn´ı vektory). Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s prvky

z C. Necht’ λ ∈ σ(A). Oznaˇcme Pλ = {~x ∈ C

n 

A~

x = λ~

x}, tj. Pλ je mnoˇzina vlastn´ıch vektor˚

u A

pˇ

r´ısluˇ

sn´

ych λ s pˇ

rid´

an´ım nulov´

eho vektoru. Pak Pλ ⊂⊂ C

n.

D˚

ukaz. Pλ = {~x ∈ C

n 

(A − λI)~x = ~0}, tj. Pλ je mnoˇzinou ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy s matic´ı

A − λI, tedy podle Frobeniovy vˇ

ety je Pλ ⊂⊂ C

n.

Definice 20. Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s prvky z C. Necht’ λ ∈ σ(A). Geometrickou
n´

asobnost´

ı λ nazveme νg(λ) = dim Pλ.

Slovy: “νg(λ) je poˇcet LN vlastn´ıch vektor˚

u A pˇr´ısluˇsn´ych λ.”

Hledat vlastn´ı vektory A pˇr´ısluˇsn´e vlastn´ımu ˇc´ıslu λ znamen´a ˇreˇsit homogenn´ı soustavu s matic´ı

A − λI. Jeˇ

stˇ

e je tˇ

reba vˇ

edˇ

et, jak efektivnˇ

e hledat vlastn´ı ˇ

c´ısla. K tomu potˇ

rebujeme definovat

charakteristick´

y polynom matice A.

Definice 21. Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s prvky z C. Zobrazen´ı pA : C → C definovan´e
pro kaˇ

zd´

e t ∈ C jako pA(t) = det(A − tI) naz´yv´ame charakteristick´

y polynom A.

Vˇ

eta 36 (Hled´

an´ı vlastn´ıch ˇ

c´ısel). Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s prvky z C. Pak λ ∈ σ(A),

pr´

avˇ

e kdyˇ

z p

A(λ) = 0.

Slovy: “λ je vlastn´ım ˇ

c´ıslem A, pr´avˇe kdyˇz λ je koˇrenem charakteristick´eho polynomu.”

D˚

ukaz. λ ∈ σ(A) ⇔ existuje ~x ∈ C

n, ~x 6= ~0 tak, ˇze A~x = λ~x ⇔ existuje ~x ∈ Cn, ~x 6= ~0 tak, ˇze

(A − λI)~x = ~0 ⇔ homogenn´ı soustava s matic´ı (A − λI) m´a netrivi´aln´ı ˇreˇsen´ı ⇔ matice (A − λI)
je singul´