Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

(~

x1, ~x2, . . . , ~xk) je LN soubor.

Slovy: “Vlastn´ı vektory pˇ

r´ısluˇ

sn´

e r˚

uzn´

ym vlastn´ım ˇ

c´ısl˚

um jsou LN.”

D˚

ukaz. Dok´

aˇ

zeme tvrzen´ı sporem. Pˇ

redpokl´

ad´

ame, ˇ

ze (~

x1, ~x2, . . . , ~xk) je LZ, pak podle alternativn´ı

definice LZ je bud’ ~

x1 = ~0 (to ale nenast´

av´

a, protoˇ

ze ~

x1 je vlastn´ı vektor), nebo existuje j ∈

ˆ

k, j ≥ 2 a ˇ

c´ısla α1, . . . , αj−1 tak, ˇze ~xj =

Pj−1

i=1 αi~

xi. Bereme nejmenˇs´ı takov´e j, pak je zˇrejm´e,

ˇ

ze (~

x1, ~x2, . . . , ~xj−1) je LN soubor. Pak A~xj = λj~xj =

Pj−1

i=1 αiA~

xi =

Pj−1

i=1 αiλi~

xi. Z´

aroveˇ

n

λj~xj =

Pj−1

i=1 αiλj ~

xi. Odtud dost´

av´

ame

j−1
X

i=1

αi(λi − λj)~xi = ~0.

Jelikoˇ

z λi 6= λj pro kaˇzd´e i ∈ [

j − 1, plyne z LN souboru (~

x1, ~x2, . . . , ~xj−1), ˇze αi = 0 pro kaˇzd´e

i ∈ [

j − 1. Odtud plyne, ˇ

ze ~

xj = ~0, coˇz je spor s pˇredpokladem, ˇze ~xj je vlastn´ı, tedy nenulov´

y

vektor.

Vˇ

eta 42 (B´

aze z vlastn´ıch vektor˚

u). Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s prvky z C. V C

n

existuje b´

aze z vlastn´ıch vektor˚

u A pr´avˇe tehdy, kdyˇz pro kaˇzd´e λ ∈ σ(A) plat´ı νa(λ) = νg(λ).

D˚

ukaz. Dokazujeme ekvivalenci, tedy dvˇ

e implikace.

(⇒) : Uvaˇ

zujme libovoln´

e vlastn´ı ˇ

c´ıslo λ. Necht’ (~

x1, . . . , ~xn) je b´

aze z vlastn´ıch vektor˚

u A. Seˇradili

jsme si vektory v b´

azi tak, aby pr´

avˇ

e ~

x1, . . . , ~xk pˇr´ısluˇsely λ. Odtud je zˇrejm´e, ˇze νg(λ) ≥ k.

Oznaˇ

cme jako X matici, jej´ımiˇz sloupci jsou vektory ~x1, . . . , ~xn. Matice X je tedy regul´arn´ı.

p

A(t) = det(X

−1(A − tI)X) =

λ−t