Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

tick´

eho polynomu, tj. je-li p

A(t) = ant

n + an−1tn−1 + · · · + a1t + a0, pak

anA

n + a

n−1

A

n−1 + · · · + a

1

A + a0I = O.

Pˇ

r´

ıklad 29. V pˇ

r´ıkladu 27 jsme naˇ

sli charakteristick´

y polynom p

A(t) = −t

3 + 2t2 − t matice

A =

1

0

−1

0

1

1

0

0

0

.

Snadno ovˇ

eˇ

r´ıme, ˇ

ze −A

3 + 2A2 − A = O.

39

6

Vlastnosti, zejm´

ena spektr´

aln´ı, vybran´

ych typ˚

u matic

Neˇ

rekneme-li jinak, pak symbol < ~

x|~

y > znamen´

a v cel´

e kapitole standardn´ı skal´

arn´ı souˇ

cin.

Zopakujte si Definici 4, v n´ıˇ

z jsme zavedli transponovanou, komplexnˇ

e sdruˇ

zenou a hermitovsky

sdruˇ

zenou matici. Pot´

e m˚

uˇ

zeme zav´

est speci´

aln´ı typy matic - vˇ

sechny budou ˇ

ctvercov´

e.

Definice 25. Necht’ A je ˇctvercov´a matice s komplexn´ımi prvky.

1. A nazveme norm´

aln´

ı, pokud AA

H = AHA.

2. A nazveme hermitovskou, pokud A = A

H .

• Je-li speci´

alnˇ

e A re´aln´a a hermitovsk´a, tedy vlastnˇe A re´aln´a a A = A

T , pak A nazveme

symetrickou.

3. A nazveme unit´

arn´

ı, pokud AA

H = I.

• Je-li speci´

alnˇ

e A re´aln´a a unit´arn´ı, tedy vlastnˇe A re´aln´a a AA

T = I, pak A nazveme

ortogon´

aln´

ı (OG).

Pozn´

amka 43. Pˇ

r´ımo z definice plyne:

• Symetrick´

e matice jsou hermitovsk´

e. Hermitovsk´

e matice jsou norm´

aln´ı.

• OG matice jsou unit´

arn´ı. Unit´

arn´ı matice jsou norm´

aln´ı.

Tedy vˇ

sechna tvrzen´ı, kter´

a plat´ı pro norm´

aln´ı matice, plat´ı automaticky tak´

e pro hermitovsk´

e, a

tedy i symetrick´

e, a unit´

arn´ı, tedy i OG matice.

Pˇ

r´

ıklad 30. Trivi´

aln´ım pˇ

r´ıkladem norm´

aln´ı matice je I.

•

1 −3

−3 2

 je symetrick´a, tedy i hermitovsk´a a norm´aln´ı.

•

1 −i

i 2

 je hermitovsk´a, tedy i norm´aln´ı.

•

1

√

2

−1

√

2

1

√

2