Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
z AX = XD, m´ame A~xi = λi~xi pro kaˇzd´e i ∈ ˆ
n. Proto (~
x1, . . . , ~xn) je soubor z vlastn´ıch
vektor˚
u. T´ım je dok´
az´
ano, ˇ
ze (~
x1, . . . , ~xn) je hledan´
a b´
aze C
n z vlastn´ıch vektor˚
u.
(⇐) : Necht’ (~
x1, . . . , ~xn) b´
aze C
n z vlastn´ıch vektor˚
u pˇ
r´ısluˇ
sn´
ych vlastn´ım ˇ
c´ısl˚
um λ1, . . . , λn,
oznaˇ
cme X matici se sloupci ~x1, . . . , ~xn. Matice X je tedy regul´arn´ı. Snadno ovˇeˇr´ıte, ˇze
AX = X
λ1 0 ...
0
0
. .
. ... 0
0
0
... λn
!
, odkud plyne A = X
λ1 0 ...
0
0
. .
. ... 0
0
0
... λn
!
X
−1,
tedy A je diagonalizovateln´a.
Pˇ
r´
ıklad 28. V pˇ
r´ıkladu 27 jsme naˇ
sli vlastn´ı vektory A =
1
0
−1
0
1
1
0
0
0
:
vlastn´ı vektor pˇ
r´ısluˇ
sn´
y 0
1
−1
1
a vlastn´ı vektory pˇ
r´ıluˇ
sn´
e 1
1
0
0
,
0
1
0
.
Z d˚
ukazu Vˇ
ety 44 plyne, ˇ
ze sestav´ıme-li matici X z vlastn´ıch vektor˚
u a matici D z vlastn´ıch ˇc´ısel
v odpov´ıdaj´ıc´ım poˇ
rad´ı, tj. napˇ
r.
X =
1
1
0
−1
0
1
1
0
0
a
D =
0
0
0
0
1
0
0
0
1
,
pak A = XDX
−1. Ovˇeˇrte.
Pozn´
amka 42. Zat´ımco podobnostn´ı transformace zachov´
avaj´ı vlastn´ı ˇ
c´ısla a diagonalizovatelnost
matic, ekvivalentn´ı ˇ
r´
adkov´
e ´
upravy mohou vlastn´ı ˇ
c´ısla matice mˇ
enit a mohou mˇ
enit i diagonali-
zovatelnost. Napˇ
r´ıklad n´
asleduj´ıc´ı matice B vznikla z A z´amˇenou ˇr´adk˚
u a plat´ı
A =
0
0
0
1
m´
a r˚
uzn´
a vlastn´ı ˇ
c´ısla 0 a 1, a je tedy diagonalizovateln´
a, zat´ımco
B =
0
1
0
0
m´
a pouze vlastn´ı ˇ
c´ıslo 0 s νa(0) = 2 > 1 = νg(0), proto nen´ı diagonalizovateln´
a.
38
Pro zaj´ımavost uved’me bez d˚
ukazu slavnou vˇ
etu spektr´
aln´ı teorie.
Vˇ
eta 45 (Hamilton-Caley). Kaˇ
zd´
a ˇ
ctvercov´
a matice s prvky z C je koˇrenem sv´eho charakteris-