Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

1. pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ C

n je ||A~x|| = ||AH~x||,

2. λ je vlastn´ı ˇ

c´ıslo A s vlastn´ım vektorem ~x, pr´avˇe kdyˇz λ je vlastn´ı ˇc´ıslo A

H s vlastn´ım

vektorem ~

x,

3. necht’ λ, µ ∈ σ(A), λ 6= µ, necht’ d´ale ~x je vlastn´ı vektor A pˇr´ısluˇsn´y λ a ~y je vlastn´ı vektor

A pˇ

r´ısluˇ

sn´

y µ, pak standardn´ı skal´

arn´ı souˇ

cin < ~

x|~

y >= 0.

Slovy: “Vlastn´ı vektory norm´

aln´ı matice pˇ

r´ısluˇ

sn´

e r˚

uzn´

ym vlastn´ım ˇ

c´ısl˚

um jsou na sebe

kolm´

e.”

D˚

ukaz.

1. ||A~x||

2 =< A~x|A~x >= (A~x)HA~x = ~xHAHA~x = ~xHAAH~x = ~xH(AH)HAH~x = (AH~x)HAH~x =<

A

H ~x|AH~x >= ||AH~x||2, kde jsme v 2. a pˇredposledn´ırovnosti vyuˇzili maticov´y z´apis skal´arn´ıho

souˇ

cinu z Lemmatu 5, ve 3. a 5. a 6. rovnosti vlastnosti hermitovsk´

eho sdruˇ

zov´

an´ı z Vˇ

ety 7

a ve 4. rovnosti normalitu A.

2. Je-li A norm´aln´ı matice, λ ∈ C, pak (A − λI)(A − λI)

H = (A−λI)(AH −λI) = (AH −λI)(A−

λI) = (A − λI)

H (A − λI), tedy A − λI je tak´e norm´aln´ı. Z jiˇz dok´azan´eho 1. bodu v´ıme, ˇze

pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ C

n plat´ı

||(A − λI)~x|| = ||(A

H − λI)~x||,

odtud je zˇ

rejm´

e, ˇ

ze je-li λ vlastn´ı ˇ

c´ıslo A a ~x pˇr´ısluˇsn´y vlastn´ı vektor, pak ||(A

H − λI)~x|| = 0,

tedy λ je vlastn´ı ˇ

c´ıslo A

H s vlastn´ım vektorem ~x. A podobnˇe opaˇcn´ym smˇerem.

42

3. Plat´ı s´

erie rovnost´ı:

λ < ~

x|~

y >=< λ~

x|~

y >=< A~x|~y >= ~y

H

A~

x = ~

y

H (AH)H~x =< ~x|AH~y >=< ~x|µ~y >= µ < ~x|~y >,

kde v 1. a posledn´ı rovnosti jsme vyuˇ

zili vlastnost´ı skal´

arn´ıho souˇ

cinu, ve 3. a 5. rovnosti jsme

vyuˇ

zili maticov´

y z´