Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
0
...
...
...
...
...
A1n A2n A3n ... Ann
A11 A12 A13 ... A1n
0
A22 A23 ... A2n
0
0
A33 ... A3n
...
...
... ...
...
0
0
0
... Ann
!
,
pak prvek souˇ
cinu matic s indexy 1, 1 je roven
A11A11 + A12A12 + · · · + A1nA1n = A11A11,
tedy
|A11|
2 + |A12|2 + · · · + |A1n|2 = |A11|2,
odtud vid´ıme, ˇ
ze A12 = A13 = · · · = A1n = 0. Podobnˇe spoˇcten´ım prvku souˇcinu matic s indexy
2, 2 dostaneme A23 = · · · = A2n. Analogicky dostaneme, ˇze vˇsechny prvky nad diagon´alou jsou
nulov´
e.
Vˇ
eta 47 (Schurova vˇ
eta pro norm´
aln´ı matice). Necht’ A je norm´aln´ı matice ˇr´adu n. Pak existuje
unit´
arn´ı matice U a diagon´aln´ı matice D ˇr´adu n takov´e, ˇze A = U
H
DU.
D˚
ukaz. Ze Schurovy vˇ
ety plyne, ˇ
ze existuje horn´ı troj´
uheln´ıkov´
a matice H a unit´arn´ı matice U
takov´
e, ˇ
ze A = UHU
H . Ukaˇzme, ˇze z normality A plyne normalita H. Z unitarity U dostaneme
U
H
AU = U
H
UHU
H
U = H.
Pak podle vlastnost´ı hermitovsky sdruˇ
zen´
ych matic dostaneme
HH
H = UHAU(UHAU)H = UHAUUHAHU = UHAAHU.
H
H
H = U
H
A
H
UU
H
AU = U
H
A
H
AU.
Rovnost HH
H = HHH plyne z rovnosti AAH = AHA. Z Lemmatu 6 plyne, ˇze H je diagon´aln´ı
matice, ˇ
c´ımˇ
z je tvrzen´ı dok´
az´
ano.
D˚
usledek 13 (Diagonalizovatelnost norm´
aln´ıch matic). Kaˇ
zd´
a norm´
aln´ı matice A je diagonali-
zovateln´
a.
D˚
ukaz. Jelikoˇ
z unit´
arn´ı matice U splˇ
nuje UU
H = I, je UH = U−1, proto ze Schurovy vˇety pro
norm´
aln´ı matice plyne, ˇ
ze kaˇ
zd´
a norm´
aln´ı matice je podobn´
a diagon´
aln´ı matici.
Vˇ
eta 48 (ON b´
aze z vlastn´ıch vektor˚
u). Necht’ A je ˇctvercov´a matice ˇr´adu n s prvky z C. Matice
A je norm´
aln´ı, pr´
avˇ
e kdyˇ
z v C
n existuje ON b´aze z vlastn´ıch vektor˚