Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
arn´ı ⇔ det(A − λI) = 0 ⇔ pA(λ) = 0.
Pˇ
r´
ıklad 27. Najdˇ
ete vlastn´ı ˇ
c´ısla a k nim pˇ
r´ısluˇ
sn´
e LN vlastn´ı vektory A, kde
A =
1
0
−1
0
1
1
0
0
0
.
ˇ
Reˇ
sen´
ı:
• Vlastn´ı ˇ
c´ısla:
p
A(t) = det
1 − t
0
−1
0
1 − t
1
0
0
−t
= −t(1 − t)2, proto σ(A) = {0, 1}.
34
• Vlastn´ı vektory A pˇr´ısluˇsn´e 0 ˇreˇs´ı homogenn´ı soustavu s matic´ı A−0I = A =
1
0
−1
0
1
1
0
0
0
.
Z Frobeniovy vˇ
ety plyne, ˇ
ze dimenze mnoˇ
ziny ˇ
reˇ
sen´ı νg(0) = 1 a mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı je
P0 = [
1
−1
1
]λ. Vlastn´ımi vektory A pˇr´ısluˇsn´ymi k 0 jsou vˇsechny nenulov´e n´asobky vek-
toru
1
−1
1
.
• Vlastn´ı vektory A pˇr´ısluˇsn´e 1 ˇreˇs´ı homogenn´ı soustavu s matic´ı A−1I = A =
0
0
−1
0
0
1
0
0
−1
.
Z Frobeniovy vˇ
ety plyne, ˇ
ze dimenze mnoˇ
ziny ˇ
reˇ
sen´ı νg(1) = 2 a mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı je
P1 = [
1
0
0
,
0
1
0
]λ. Vlastn´ımi vektory A pˇr´ısluˇsn´ymi k 1 jsou vˇsechny netrivi´aln´ı LK
vektor˚
u
1
0
0
a
0
1
0
.
Vˇ
eta 37 (Vlastnosti charakteristick´
eho polynomu). Necht’ p
A je charakteristick´
y polynom ˇ
ctvercov´
e
matice A ˇr´adu n s prvky z C. Potom
1. p
A je polynom stupnˇ
e n,
2. koeficient u ˇ
clenu nejvyˇ
sˇ
s´ıho stupnˇ
e tn v p
A(t) je (−1)
n,
3. konstantn´ı ˇ
clen polynomu p
A je roven det A.
D˚
ukaz. Nejvyˇ
sˇ
s´ı mocnina t se objevuje ve ˇ
clenu determinantu p
A(t) = det(A − tI) odpov´
ıdaj´ıc´ımu
identick´
e permutaci, tedy ve ˇ
clenu (A11 − t)(A22 − t) . . . (Ann − t), coˇz je t
n, a objevuje se s
koeficientem (−1)n.
Oznaˇ
cme p
A(t) = (−1)
ntn + bn−1tn−1 + · · · + b1t + b0. Pak p
A(0) = b0. Z´
aroveˇ
n podle definice
charakteristick´
eho polynomu m´
ame p
A(0) = det(A − 0I) = det A. Tedy koeficient u konstantn´