Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

n, i 6= j, a δii = 1 pro kaˇzd´e i ∈ ˆ

n.

Slovy: “Soubor je ON, pokud je OG a vektory maj´ı jednotkov´

e normy.”

Pozn´

amka 30. Pokud (~

x1, . . . , ~xn) je OG soubor nenulov´

ych vektor˚

u, pak (

1

k~

x1k

~

x1, . . . ,

1

k~

xnk

~

xn)

je ON soubor.

Pozn´

amka 31. Vektory ON souboru jsou nutnˇ

e 6= ~0, pro OG soubor to neplat´ı.

Pˇ

r´

ıklad 26. Nejjednoduˇ

sˇ

s´ım ON souborem v eukleidovsk´

em prostoru R

n a v unit´arn´ım prostoru

C

n je standardn´ı b´aze.

Vˇ

eta 30 (LN OG souboru nenulov´

ych vektor˚

u). Necht’ (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je OG soubor nenulov´

ych

vektor˚

u z (V, < .|. >). Pak je (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) LN.

D˚

ukaz. Necht’

Pn

i=1 αi~

xi = ~0. Vyn´

asobme obˇ

e strany vektorem ~

xj pro kaˇzd´e j ∈ ˆ

n.

<

n

X

i=1

αi~xi|~xj >=

n

X

i=1

αi < ~xi|~xj >= αj < ~xj|~xj >=< ~0|~xj >= 0,

kde jsme vyuˇ

zili linearity skal´

arn´ıho souˇ

cinu v 1. argumentu, ortogonality souboru a faktu, ˇ

ze

skal´

arn´ı souˇ

cin s nulov´

ym vektorem je vˇ

zdy 0. Jelikoˇ

z ~

xj 6= ~0, dost´

av´

ame αj = 0 pro kaˇzd´e j ∈ ˆ

n,

ˇ

c´ımˇ

z je dok´

az´

ana LN souboru.

D˚

usledek 9. Kaˇ

zd´

y ON soubor je LN.

Vˇ

eta 31 (Souˇ

radnice v OG b´

azi). Necht’ X = (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je OG b´

aze (V, < .|. >). Necht’

~

x ∈ V . Pak i-t´

a souˇ

radnice ~

x v b´

azi X je

<~

x|~

xi>

k ~

xik2

.

D˚

ukaz. Necht’ ~

x =

Pn

k=1 αk~

xk. Vyn´

asobme obˇ

e strany vektorem ~

xi.

< ~

x|~

xi >=<

n

X

k=1

αk~xk|~xi >=

n

X

k=1

αk < ~xk|~xi >= αi < ~xi|~xi >,

kde jsme opˇ

et vyuˇ

zili linearity skal´

arn´ıho souˇ

cinu v 1. argumentu a ortogonality b´

aze. Odtud

dost´

av´

ame αi =

<~

x|~

xi>

k~

xik2

, dˇ

el´ıme nenulov´