Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

e vˇ

etˇ

e a jej´ım d˚

ukazu

nokoliv, protoˇ

ze tak zd˚

urazˇ

nujeme rozd´ıl mezi souˇ

cinem matice a vektoru A · ~x a p˚

usoben´ım

zobrazen´ı na vektor A~

x.

5

Vˇ

eta 5 (Frobeniova). Necht’ A je matice typu m × n s prvky z tˇelesa T . Necht’ ~b ∈ T

m. Pak pro

soustavu LAR

A · ~

x = ~b

(1)

plat´ı:

1. Soustava (1) m´

a ˇ

reˇ

sen´ı ⇔ h(A) = h(A|~b), tj. hodnost matice soustavy je stejn´a jako hodnost

rozˇ

s´ıˇ

ren´

e matice soustavy.

2. Oznaˇ

cme S0 mnoˇzinu ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy s matic´ı A, tj. S0 = {~x ∈ T

n|A · ~x = ~0}.

Pak S0 ⊂⊂ T

n a dim S0 = n − h(A).

3. Necht’ h(A) = h(A|~b). Pak mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı soustavy (1), tj. S = {~x ∈ T

n|A · ~x = ~b},

m´

a tvar S = ~a + S0, kde A · ~a = ~b. Vektor ~a naz´yv´ame partikul´

arn´

ım ˇ

reˇ

sen´

ım.

D˚

ukaz. K d˚

ukazu 1. tvrzen´ı n´

am staˇ

c´ı znalosti ZS. K d˚

ukazu 2. a 3. tvrzen´ı nav´ıc vyuˇ

zijeme vztahy

mezi maticemi a line´

arn´ımi zobrazen´ımi, kter´

e jsme si v t´

eto kapitole vysvˇ

etlili.

1. V n´

asleduj´ıc´ıch ekvivalenc´ıch vyuˇ

z´ıv´

ame mimo jin´

e teorie LZ a LN.

(1) m´

a ˇ

reˇ

sen´ı ⇔ existuje ~

x ∈ T n takov´

y, ˇ

ze A · ~x = ~b ⇔ existuje α1, α2, . . . , αn ∈ T tak,

ˇ

ze α1A·1 + α2A·2 + · · · + αnA·n = ~b ⇔ ~b ∈ [A·1, A·2, . . . , A·n]λ ⇔ [A·1, A·2, . . . , A·n]λ =
[A·1, A·2, . . . , A·n,~b]λ ⇔ dim [A·1, A·2, . . . , A·n]λ = dim [A·1, A·2, . . . , A·n,~b]λ ⇔ h(A) =
h(A|~b). V pˇredposledn´ı ekvivalenci jsme vyuˇzili znalosti ze ZS: Je-li P ⊂⊂ Q a dim P =
dim Q, pak P = Q.