Skripta - Lineární algebra 2 - Ing. Ĺubomíra Balková

aze Qm. Pak h(A) = h(

XAY ).

D˚

ukaz. Staˇ

c´ı, abychom rozepsali, co je h(A) (zn´

ame ze ZS) a co je h(XAY ). Oznaˇ

cme X =

(~

x1, ~x2, . . . , ~xn).

h(A) = dim A(Pn) = dim A[~x1, ~x2, . . . , ~xn]λ = dim [A~x1, A~x2, . . . , A~xn]λ = dim V,

kde V = [A~

x1, A~x2, . . . , A~xn]λ.

h(

XAY) = dim [(A~x

1)Y , (A~

x2)Y , . . . , (A~xn)Y ]λ = dim W,

kde W = [(A~

x1)Y , (A~x2)Y , . . . , (A~xn)Y ]λ.

Je snadn´

e nahl´

ednout, ˇ

ze souˇ

radnicov´

y izomorfismus: Qm → T

m, kter´y vektoru ~y ∈ Qm pˇriˇrad´ı

vektor (y)Y , je bijekc´ı: V → W , proto W ∼

= V (W je izomorfn´ı s V ). Ze ZS z Vˇ

ety o alternativn´ı

definici izomorfismu v´ıme, ˇ

ze pro prostory W, V s dim < ∞ plat´ı W ∼

= V ⇔ dim V = dim W .

D˚

usledek 2. Zobrazen´ı A urˇ

cen´

e matic´ı A pˇri b´az´ıch X a Y splˇ

nuje h(A) = h(A).

Pozn´

amka 1. Necht’ A je matice s prvky z T a A ∈ L(T

n, T m) takov´e, ˇze A~x = A · ~x pro kaˇzd´e

~

x ∈ T n. Pak z pˇ

redchoz´ıho d˚

usledku plyne, ˇ

ze h(A) = h(A). Tedy napˇr´ıklad vˇsechny oper´atory

z Pˇ

r´ıkladu 2 maj´ı hodnost 2.

1.4.2

Regul´

arn´

ı a singul´

arn´

ı matice

Nyn´ı zavedeme velmi d˚

uleˇ

zit´

y pojem regul´

arn´ı matice, kter´

y se bude objevovat ve vˇ

etˇ

sinˇ

e n´

asleduj´ıc´ıch

kapitol. Postupnˇ

e si budeme vyslovovat tvrzen´ı, kter´

a budou regul´

arn´ı matice charakterizovat po-

moc´ı r˚

uzn´

ych vlastnost´ı (soustava LAR s jedin´

ym ˇ

reˇ

sen´ım, inverzn´ı matice, nenulov´

y determinant,

nenulov´

a vlastn´ı ˇ

c´ısla atd.)

Pozn´

amka 2. Matici typu n × n naz´

yv´

ame tak´

e ˇ

ctvercov´

a matice ˇ

r´

adu n.

Definice 3. ˇ