23) Planimetrie

V trojúhelníku OXA platí: sin α =

sin α = l AX l

vzdálenost bodu A od souřadnicové osy x = l AX l = sin α
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Planimetrie

18i)

Vypočítejte vzdálenost bodů B, P.
Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2014 (1), příklad č. 13
Body: 2 Výsledek: | BP | =

Pracovní tematické zařazení: Planimetrie
Řešení:
1. způsob – pomocí sinové věty
Trojúhelník OPB je rovnoramenný, každé jeho rameno má délku 1 jednotka. Víme, že úhly při
základně každého rovnoramenného trojúhelníka jsou shodné, takže úhel při vrcholu P i úhel při
vrcholu B měří 30°.
Sinová věta: V každém trojúhelníku ABC platí:

=

=

Pozor !! – úhel zapsaný ve jmenovateli zlomku musí ležet naproti straně zapsané v čitateli
tohoto zlomku … na obrázku vidíme ( po výpočtu úhlů ), že úhel 120° leží naproti
straně PB a úhel 30° leží naproti straně OP a OB = 1 jednotka

=

=

= 2

= 2

2 * l PB l = 2√3 /: 2 l PB l = √3

2. způsob – pomocí goniometrických funkcí ostrého úhlu ( v pravoúhlém trojúhelníku )
Rovnoramenný trojúhelník OPB rozdělíme pomocí výšky spuštěné z vrcholu O na 2 shodné
pravoúhlé trojúhelníky. Patu této výšky označíme např. X. V pravoúhlém trojúhelníku OPX
( s pravým úhlem při vrcholu X ) pak platí:

sin 60° =

= l PX l

Z obrázku vidíme, že l PB l = 2 * l PX l = 2 *

= √3

--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Planimetrie

19i)

Jaký je součet obsahů všech tří rovinných útvarů ? A) menší než 27,5

B) 27,5

C) 28,0

D) 28,5

E) větší než 28,5

Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2014 (1), příklad č. 17
Body: 2 Výsledek: D

Pracovní tematické zařazení: Planimetrie
Řešení:

obsah trojúhelníka: S1 =

=

= 6 ( cm

2 )

obsah kosodélníku: S2 = základna * příslušná výška = 3 * 4 = 12 ( cm

2 )

obsah lichoběžníku: S3 =

=

= 10,5 ( cm2 )

Pozor !! – základny lichoběžníku jsou ty 2 strany, které jsou rovnoběžné,
zbývající 2 strany jsou ramena, výška je vzdálenost základen
S1 + S2 + S3 = 6 cm

2 + 12 cm2 + 10,5 cm2 = 28,5 cm2

--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Planimetrie

20i)

Vypočtěte obsah lichoběžníku ABCD. V záznamovém archu uveďte celý postup řešení.
Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2014 (2), příklad č. 14
Body: 2 Výsledek:

a postup řešení

Pracovní tematické zařazení: Planimetrie
Řešení:

obsah lichoběžníku: S =

… neznáme delší základnu a výšku

delší základna lichoběžníku = 24 cm + 18 cm = 42 cm ( l PB l = 18 cm, neboť PBCD je
rovnoběžník a protější strany každého rovnoběžníku jsou shodné )
výška lichoběžníku = výška trojúhelníka APD ( ta, která je spuštěna z vrcholu D )
Z vrcholu D trojúhelníka APD spustíme výšku ( čili kolmici ) na stranu AP ( označíme ji např. v ),
patu této výšky označíme např. X … tím vznikne pravoúhlý trojúhelník AXD.
Pythagorova věta ( trojúhelník AXD ): 202 = 122 + v2 400 = 144 + v2
256 = v