23) Planimetrie

trojúhelník BCD: sin 30° =

0,5 = /* 12 6 = c

c) výška v
Pythagorova věta ( trojúhelník BCD ): f

2 = c2 + v2 122 = 62 + v2

144 = 36 + v

2 108 = v2

v = √108 = ( částečné odmocnění ) √( 36*3 ) = √36 * √3 = 6√3
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Planimetrie

1i) V rovnoběžníku ABCD se středem S má strana AB délku a = 5 cm, úhel ABS je pravý a
úhlopříčka BD má délku f = 12 cm.
a) Proveďte náčrtek. b) Vypočtěte obvod o čtyřúhelníku ABCD.
c) Vypočtěte velikost vnitřního úhlu rovnoběžníku ABCD při vrcholu A. Zaokrouhlete
na stupně.
Pozor ! Bez náčrtku nebude úloha ohodnocena !
Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2010 (1), příklad č. 10
Body: 4
Výsledek:

a)

b) o = 36 cm c)

Pracovní tematické zařazení: Planimetrie
Řešení:
a) Rovnoběžník je takový čtyřúhelník, jehož protější strany jsou rovnoběžné a stejně dlouhé.
Mezi rovnoběžníky patří čtverec, obdélník, kosočtverec a kosodélník.
Protože úhel ABS je pravý ( vrchol úhlu je tedy bod B ), nemůže se jednat o čtverec ani o
obdélník. Nemůže se jednat ani o kosočtverec, neboť jeho úhlopříčky svírají ( stejně jako u
čtverce ) pravý úhel. Hledaným rovnoběžníkem je tedy kosodélník – výsledek viz výše.
b) obvod kosodélníku: o = 2( a + b ) … neznáme b ( b = d )
Pythagorova věta ( trojúhelník ABD ): l AD l

2 = 52 + 122 l AD l2 = 169

l AD l = d = b = 13 cm
o = 2( a + b ) = 2( 5 + 13 ) = 36 ( cm )

c) trojúhelník ABD: sin α =

sin α = přibližně 0,923 α = přibližně 67°

NEBO cos α =

cos α = přibližně 0,385 α = přibližně 67°

NEBO tg α =

tg α = 2,4 α = přibližně 67°

--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Planimetrie

2i) V každém n–úhelníku určete postupně velikost úhlu

Ke každému náčrtku

a) – c) ( 18.1 až 18.3 ) přiřaďte odpovídající řešení uvedené v alternativách A) – E).
A)

B)

C)

D)

E) Odpovídající hodnota úhlu není uvedena.

Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2010 (1), příklad č. 18
Body: 4 Výsledek: a) A b) E ( 40° ) c) D

Pracovní tematické zařazení: Planimetrie
Řešení:
a) 9α = 180° α = 20°
b) Součet velikostí všech vnitřních úhlů v každém čtyřúhelníku je 360° ( neboť každý
čtyřúhelník můžeme rozdělit na 2 trojúhelníky … 2 * 180° = 360° ).
Protější úhly každého rovnoběžníku jsou shodné, takže součet velikostí „sousedních“ úhlů
je 180°.
3,5 β + β = 180° 4,5 β = 180° β = 40°
c) trojúhelník ABC … 2Ɛ + 3Ɛ = 90° 5Ɛ = 90° Ɛ = 18°
trojúhelník ACD … úhel při vrcholu A = 3Ɛ = 54°
trojúhelník ABD … úhel při vrcholu D = 3Ɛ = 54°
trojúhelník ASD ( S je střed obdélníka ) …