23) Planimetrie

2 + x2 – 2x + 1 0 = 2x2 – 2x – 840 /: 2

0 = x

2 – x – 420 … a = 1, b = –1, c = –420

x1, 2 =

=

=

=

…

… x1 = 21, x2 = –20 ( nevyhovuje zadání – délka strany nemůže být záporná )
NEBO 0 = ( x – 21 )( x + 20 ) … x1 = 21, x2 = –20 ( nevyhovuje zadání )
Délka okrasné zahrady je 21 m, její šířka je 20 m.
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Planimetrie

8i)

a) Pod jakým zorným úhlem je možné od paty věže V sledovat obě stanoviště A a B
současně ?
b) Určete s přesností na celé metry přímou vzdálenost stanoviště B od vrtné věže V.
Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2011, příklad č. 11
Body: 3 Výsledek: a) 35° b) 1 849 m

Pracovní tematické zařazení: Planimetrie
Řešení:
a) 180° – ( 100° + 45° ) = 35°

b) Sinová věta: V každém trojúhelníku ABC platí:

=

=

Pozor !! – úhel zapsaný ve jmenovateli zlomku musí ležet naproti straně zapsané v čitateli
tohoto zlomku … na obrázku vidíme ( po výpočtu třetího úhlu ), že úhel 45° leží naproti
straně BV a úhel 35° leží naproti straně AB = 1,5 km

=

/* sin 45° l BV l = přibližně 1,8492 km = přibližně 1849 m

--------------------------------------------------
9i) Jak dlouhý stín vrhá člověk vysoký 180 cm na vodorovnou podložku, jestliže světelné
paprsky svírají s podložkou úhel 50° ? ( Situaci si zobrazte ).

A)

B)

C)

D)

E)

Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2011, příklad č. 17
Body: 2 Výsledek: E

Pracovní tematické zařazení: Planimetrie
Řešení:
Načrtni si pravoúhlý trojúhelník ABC ( strana AB je vodorovná a strana AC je svislá, takže pravý
úhel je při vrcholu A ). Pak tedy strana AC měří 180 cm a úhel 50° je při vrcholu B.
délka stínu = délka strany AB
tg 50° =

/* l AB l l AB l * tg 50° = 180 /: tg 50°

l AB l =

--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Planimetrie

10i)

Vypočtěte obsah rovnoběžníku ABCD a výsledek uveďte v

.

Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2012, příklad č. 14
Body: 1 Výsledek: 8

Pracovní tematické zařazení: Planimetrie
Řešení:
Rovnoběžník ABCD je kosodélník.
obsah kosodélníku: S = základna * příslušná výška … a * va nebo b * vb
( základna – kterákoli strana kosodélníku, příslušná výška – výška,
která je k dané základně kolmá )
S = základna * příslušná výška = a * va = 2 * 4 = 8 ( cm2 )
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Planimetrie

11i)

V rovnoběžníku ABCD určete poměr velikostí obou výšek. Výsledek uveďte v základním
tvaru.
Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2012, příklad č. 15
Body: 2 Výsledek: 5 : 2, resp. 2 : 5

Pracovní tematické zařazení: Planimetrie
Řešení:
Z obrázku je ihned vidět, že výška na základnu a = AB měří 4 cm. Délku výšky na základnu
b = BC ale z obrázku pouhým okem určit nelze – pro její výpočet použijeme obsah rovnoběžníku na
obrázku, tj. kosodélníku.
obsah kosodélníku: S = základna * příslušná výška … a * va nebo b * vb
( základna – kterákoli strana kosodélníku, příslušná výška – výška,
která je k dané základně kolmá )
S = základna * příslušná výška = a * va = 2 * 4 = 8 ( cm2 )
S = základna * příslušná výška = b * vb
8 = b * vb … neznáme základnu b = BC ani výšku vb, délku základny b = BC však můžeme
vypočítat Pythagorovou větou: b2 = 32 + 42 b2 = 25 b = 5 cm
8 = b * vb 8 = 5 * vb 1,6 = vb