23) Planimetrie

obsah menšího trojúhelníka … S2 =

=

=

=

= 8 ( cm2 )

obsah většího trojúhelníka … S3 =

=

=

=

= 16 ( cm2 )

obsah světlé plochy = 64 cm2 – 8 cm2 – 16 cm2 = 40 cm2
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Planimetrie

3p)

Kolika krokům odpovídá vzdálenost MN ? A) 240 B) 250 C) 260 D) 270 E) 280
Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – jaro 2011 PUP, příklad č. 18
Body: 2 Výsledek: B

Pracovní tematické zařazení: Planimetrie
Řešení:
Dva geometrické útvary jsou podobné, když mají naprosto stejný tvar ( mohou se lišit pouze
velikostí ).
Věta uu o podobnosti trojúhelníků: Dva trojúhelníky jsou podobné, když mají stejné velikosti dvou
vnitřních úhlů ( třetí je tím pádem stejná také, neboť součet velikostí všech vnitřních úhlů
trojúhelníka je vždy 180° ).
Z obrázku je vidět, že trojúhelník PON je podobný trojúhelníku PQM podle věty uu. Délka delší
odvěsny trojúhelníka PON je 80 kroků a délka delší odvěsny trojúhelníka PQM je 120 kroků.
120 : 80 = 1,5 … tzv. poměr podobnosti ( tj. každá úsečka většího trojúhelníka je 1,5 krát delší než
jí odpovídající úsečka menšího trojúhelníka )
Pythagorova věta ( trojúhelník PON ): l PN l2 = 802 + 602 l PN l2 = 6400 + 3600
l PN l

2 = 10000 l PN l = 100 kroků

Délka přepony trojúhelníka PON je 100 kroků, takže délka přepony trojúhelníka PQM je
1,5 * 100 kroků = 150 kroků
l MN l = l MP l + l PN l = 150 kroků + 100 kroků = 250 kroků
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Planimetrie

4p)

Kolik 10metrových úseků je majiteli zaúčtováno ? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – jaro 2011 PUP, příklad č. 19
Body: 2 Výsledek: D

Pracovní tematické zařazení: Planimetrie
Řešení:
Kosinová věta: s2 = r2 + t2 – 2r t * cos

φ

Pozor !! – úhel zapsaný na pravé straně rovnice musí ležet naproti straně zapsané na levé
straně rovnice … na obrázku vidíme, že úhel

φ = 110° leží naproti straně s.

s

2 = 702 + 852 – 2*70*85 * cos 110°

s

2 = přibližně 4900 + 7225 – 11900 * ( – 0,342 ) s2 = přibližně 12125 + 4069,8

s

2 = přibližně 16194,8 s = přibližně 127 m

účtuje se každý započatý 10metrový úsek … majiteli je zaúčtováno 13 10metrových úseků
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Planimetrie

5p)

V pravoúhlém lichoběžníku ABCD přiřaďte k daným úsečkám ( a) – c) ) jejich délky
z nabídky ( A – E ): a) úhlopříčka f b) strana c c) výška v
A)

B)

C) 6 D) 12 E) jiná hodnota

Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – jaro 2011 PUP, příklad č. 26
Body: 3 Výsledek: a) D b) C c) B

Pracovní tematické zařazení: Planimetrie
Řešení:
a) úhlopříčka f
Z obrázku je vidět, že v trojúhelníku ABD platí, že velikost úhlu při vrcholu B je 60°.
Velikost úhlu při vrcholu D tohoto trojúhelníka je tedy také 60°. Trojúhelník ABD je tudíž
rovnostranný ( jsou-li velikosti všech vnitřních úhlů trojúhelníka 60°, je tento trojúhelník
rovnostranný ). Délka úhlopříčky f je tedy 12 jednotek.
b) strana c