23) Planimetrie

poměr velikostí obou výšek … va : vb =

= =

Poznámka: V zadání není určeno, v jakém pořadí máme zapsat poměr velikostí obou výšek, takže
výsledek může být buď nebo

. Tyto poměry můžeme zapsat také ve tvaru 5 : 2, respektive

2 : 5.
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Planimetrie

12i) Vnitřní úhel trojúhelníku ABC má velikost

. Pro délky stran platí vztah

Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE).
a) Nejdelší strana je c. b) Největší úhel má velikost 100˚.
c) Trojúhelník je rovnoramenný. d) Osa strany b je rovnoběžná se stranou a.
Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2012, příklad č. 16
Body: 2 Výsledek: a) ANO b) NE c) NE d) ANO

Pracovní tematické zařazení: Planimetrie
Řešení:
Obrácená Pythagorova věta
Jestliže v trojúhelníku ABC o stranách a, b, c s nejdelší stranou a platí a2 = b2 + c2 , pak je tento
trojúhelník pravoúhlý.
a

2 + b2 = c2 … to tedy znamená, že trojúhelník je pravoúhlý a jeho přepona je c, čili pravý úhel je u

vrcholu C … trojúhelník ABC si načrtni
a) Nejdelší strana je c … ANO, c je přepona
b) Největší úhel má velikost 100˚ … NE, největší úhel má velikost 90˚
c) Trojúhelník je rovnoramenný … NE, jeho vnitřní úhly měří 90˚, 40˚ a 50˚
( a rovnoramenný trojúhelník má 2 vnitřní úhly, a to úhly při základně, shodné )
d) Osa strany b je rovnoběžná se stranou a … ANO, toto je vidět z náčrtku ( osa úsečky je
přímka, která prochází jejím středem a je na ní kolmá )
--------------------------------------------------
13i) Trojúhelník ABC má délky stran a = 3 cm, b = 5 cm a c = 7 cm.
Jaký je součet velikostí jeho dvou nejmenších vnitřních úhlů ?
A) 22˚ B) 38˚ C) 60˚ D) 105˚ E) jiný součet
Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2012, příklad č. 17
Body: 2 Výsledek: C

Pracovní tematické zařazení: Planimetrie
Řešení:
V trojúhelníku platí, že největší úhel leží naproti nejdelší straně – zde se tedy jedná o úhel γ.
Trojúhelník není pravoúhlý, neboť zde neplatí obrácená Pythagorova věta … 72 ≠ 32 + 52
Nelze tedy použít poučky např. cos γ = přilehlá odvěsna : přepona atd.
Abychom určili součet velikostí dvou nejmenších vnitřních úhlů trojúhelníka, stačí vypočítat
velikost jeho největšího vnitřního úhlu ( tj. zde úhlu γ ) a tu poté odečíst od 180°.
Kosinová věta: c2 = a2 + b2 – 2ab * cos γ 72 = 32 + 52 – 2*3*5 * cos γ
49 = 9 + 25 – 30 * cos γ 30 * cos γ = –15 /: 30 cos γ = – 0,5
γ = 120° ( největší vnitřní úhel trojúhelníka )
součet velikostí dvou nejmenších vnitřních úhlů trojúhelníka = 180° – 120° = 60°
--------------------------------------------------