Lineární algebra

9.15. Poznámka. Již dříve jsme mluvili o „orientovanýchÿ úsečkách. Ačkoli jsme použili stejné slovo,
s orientací lineárního prostoru to příliš nesouvisí. Orientace úsečky znamená určení pořadí jejích krajních
bodů, nebo (jinak řečeno) rozlišení mezi počátečním a konečným bodem úsečky.

Vektorový
součin

9.16. Poznámka. V další části textu definujeme vektorový součin, což je operace, která dvěma vektorům
přiřadí jako výsledek vektor (na rozdíl od skalárního součinu, který dvěma vektorům přiřadí číslo, neboli
skalár). Vektorový součin definujeme prozatím na lineárním prostoru UO orientovaných úseček, který již
známe z příkladů 9.2, 9.3, 9.7 a 9.14.

92

Lineární algebra

9. Aplikace lineární algebry v geometrii

9.17. Definice. Nechť UO je lineární prostor orientovaných úseček. Vektorový součin je zobrazení (ozna-
čujeme jej křížkem) × : UO × UO → UO, které splňuje následující vlastnosti.

(A) Jsou-li vektory {u, v} ⊂ UO lineárně závislé, definujeme u × v = o (nulový vektor).
(B) Jsou-li vektory {u, v} ⊂ UO lineárně nezávislé, pak je vektor u × v jednoznačně určen následu-

jícími třemi vlastnostmi:

(1) (u × v) ⊥ u, (u × v) ⊥ v,
(2) ku × vk = kuk kvk sin ϕ, kde ϕ je úhel mezi vektory u a v.
(3) Uspořádaná báze (u, v, u × v) je kladně orientovaná.

9.18. Poznámka. Vidíme, že skutečně vlastnosti (1) až (3) určují vektorový součin jednoznačně. První
vlastnost udává, že výsledek bude kolmý na rovinu určenou hu, vi, druhá vlastnost určuje velikost výsled-
ného vektoru a třetí vlastnost orientaci (zda výsledný vektor bude orientován vzhledem k rovině určené
hu, vi „nahoruÿ nebo „doluÿ.

9.19. Příklad. Nechť (B) = (i, j, k) je ortonormální kladně orientovaná uspořádaná báze lineárního
prostoru UO. Pak podle definice je